Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f(x, y) = raiz5(x^4 + 9 * x^2 * y^6 + 3 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar as derivadas parciais da função e verificar onde elas existem e são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se as suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele. Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar onde essas derivadas existem e não têm “saltos” ou “quebras”.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Para facilitar, vamos reescrever a função usando expoentes fracionários:
Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Para que as derivadas parciais existam, o denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, precisamos que:

Passo 6

Analisando a expressão , vemos que todos os termos são elevados a potências pares, o que significa que cada termo é sempre não negativo (maior ou igual a zero). A soma desses termos só será zero se cada termo for zero:
Portanto, a única solução que satisfaz todas as equações ao mesmo tempo é e .

Passo 7

Isso significa que o denominador é zero apenas no ponto . Em todos os outros pontos, a expressão é positiva, e as derivadas parciais existem e são contínuas. No ponto , as derivadas parciais não estão definidas devido à divisão por zero.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano, exceto no ponto . Portanto, o conjunto dos pontos nos quais é diferenciável é:

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Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine fy(x, y), para (x, y) in R^2.
Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
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Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
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Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;