Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar as derivadas parciais da função e verificar onde elas existem e são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se as suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele. Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar onde essas derivadas existem e não têm “saltos” ou “quebras”.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Para facilitar, vamos reescrever a função usando expoentes fracionários:
Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Para que as derivadas parciais existam, o denominador
não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, precisamos que:
Passo 6
Analisando a expressão
, vemos que todos os termos são elevados a potências pares, o que significa que cada termo é sempre não negativo (maior ou igual a zero). A soma desses termos só será zero se cada termo for zero:
Portanto, a única solução que satisfaz todas as equações ao mesmo tempo é
e
.
Passo 7
Isso significa que o denominador
é zero apenas no ponto
. Em todos os outros pontos, a expressão é positiva, e as derivadas parciais existem e são contínuas. No ponto
, as derivadas parciais não estão definidas devido à divisão por zero.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
do plano, exceto no ponto
. Portanto, o conjunto dos pontos nos quais
é diferenciável é: