Determine k pertence aos reais de modo que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x = 2k - 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação envolvendo a função seno: . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem essa igualdade possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente sobre o intervalo de valores que a função seno pode assumir.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função seno sempre gera resultados entre e . Isso significa que qualquer expressão igualada a também precisa estar nesse intervalo para a equação ter solução.

Passo 3

Então, temos que garantir que esteja entre e :
Essa é uma desigualdade composta que vamos resolver passo a passo.

Passo 4

Vamos resolver a parte esquerda da desigualdade primeiro:
Adicionando 5 em ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 5

Agora, resolvemos a parte direita da desigualdade:
Adicionando 5 em ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos que deve ser maior ou igual a 2 e menor ou igual a 3:

Resposta

Portanto, os valores de que satisfazem a equação são todos os números reais entre 2 e 3, ou seja, .

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