Determine k tal que y = e^(k x) verifique a equação: y'' - 4y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um valor para de forma que a função satisfaça a equação diferencial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Como , a derivada será:
Isso porque a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente e obtemos .

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir e na equação diferencial dada:

Passo 5

Agora, vamos fatorar da expressão:
Como nunca é zero para qualquer valor de e , podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação , temos:
Portanto, os valores de que satisfazem a equação são e .

Resposta

Os valores de que fazem satisfazer a equação são e .

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