Determine a linearização no ponto x0 = 0, das seguintes funções: ln(x^3 + 5*x + 5)

Passo 1

Beleza! Temos que encontrar a linearização da função no ponto . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de aproximações lineares de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a função no ponto e também a sua derivada nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearização. A linearização de uma função no ponto é a equação da reta tangente à curva de nesse ponto. Essa reta é uma boa aproximação de perto de . A fórmula da linearização é:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos da derivada de , ou seja, . Vamos derivar:
Usando a regra da cadeia, a derivada de é , onde . Então:

Passo 5

Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos montar a equação da linearização:

Resposta

A linearização de no ponto é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
27 g(x) = raiz(x^2 + 2 x - 1)
Determine k tal que y = e^(k x) verifique a equação: y'' - 4y = 0.
Calcule aproximadamente: 2^2,002
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
29 f(t) = raiz(t^4 - t^2 + raiz(3))