Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é sobrejetiva? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear e nos pergunta se ela é sobrejetiva. Sobrejetiva significa que todo vetor no espaço de chegada ( ) é alcançado pela transformação. Para descobrir isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz será . As imagens dos vetores canônicos nos dão as colunas dessa matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz da transformação usando as informações fornecidas:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.

Passo 4

Para verificar se é sobrejetiva, precisamos ver se a matriz tem posto igual a 3, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes. Se sim, a transformação atinge todo o espaço .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, tem posto 3.
Calculando passo a passo:

Passo 6

Como o determinante da matriz é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível e tem posto 3.

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetiva porque a matriz associada a tem posto igual a 3, cobrindo todo o espaço .

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Prove que o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .
Prove que o subconjunto dos vetores de com comprimento é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .
Verifique se o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.