Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é sobrejetiva? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear e nos pergunta se ela é sobrejetiva. Sobrejetiva significa que todo vetor no espaço de chegada () é alcançado pela transformação. Para descobrir isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz será . As imagens dos vetores canônicos nos dão as colunas dessa matriz.
Passo 3
Vamos montar a matriz da transformação usando as informações fornecidas:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.
Passo 4
Para verificar se é sobrejetiva, precisamos ver se a matriz tem posto igual a 3, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes. Se sim, a transformação atinge todo o espaço .
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, tem posto 3.
Calculando passo a passo:
Passo 6
Como o determinante da matriz é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível e tem posto 3.
Resposta
Sim, a transformação é sobrejetiva porque a matriz associada a tem posto igual a 3, cobrindo todo o espaço .