Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), $T(1,1,0)=(5,2,7), T(1,1,0)=(5,2,7), : : é sobrejetiva? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear e nos pergunta se ela é sobrejetiva. Sobrejetiva significa que todo vetor no espaço de chegada ( ) é alcançado pela transformação. Para descobrir isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz será . As imagens dos vetores canônicos nos dão as colunas dessa matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz da transformação A = 2 & 5 & -2 3 & 2 & 0 1 & 7 & 7 usando as informações fornecidas:
Aqui, cada coluna de corresponde a , e respectivamente.

Passo 4

Para verificar se é sobrejetiva, precisamos ver se a matriz tem posto igual a 3, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes. Se sim, a transformação atinge todo o espaço .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot (2 cdot 7 - 0 cdot 7) - 5 cdot (3 cdot 7 - 0 cdot 1) + (-2) cdot (3 cdot 7 - 2 cdot 1) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, tem posto 3.
det(A) = 2 cdot (14 - 0) - 5 cdot (21 - 0) + (-2) cdot (21 - 2)
Calculando passo a passo:
det(A) = 2 cdot 14 - 5 cdot 21 + (-2) cdot 19
det(A) = 28 - 105 - 38
det(A) = -115

Passo 6

Como o determinante da matriz é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível e tem posto 3.

Resposta

Sim, a transformação é sobrejetiva porque a matriz associada a tem posto igual a 3, cobrindo todo o espaço .

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