Seja
, onde
: Encontre
onde
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo transformações lineares e mudança de base. A gente vai trabalhar com uma transformação linear
representada por uma matriz específica. Nosso objetivo é:
- Encontrar a matriz da transformação
na base . - Encontrar as coordenadas de
na base para o vetor .
Para isso, vamos precisar entender como mudar a representação de uma transformação linear para uma nova base e como calcular as coordenadas de um vetor em relação a essa base. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz
representa a transformação
na base
. Para encontrar essa matriz, precisamos da matriz de transformação na base padrão e das matrizes de transição entre a base padrão e a base
.
A base padrão no
é
. A matriz de
na base padrão é dada por:
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base
para a base padrão, que chamaremos de
. Essa matriz
é formada colocando os vetores da base
como colunas:
Para encontrar a matriz inversa de
, denotada por
, que nos ajuda a mudar da base padrão para a base
, calculamos:
Passo 3
A fórmula para mudar a representação da matriz
para a nova base
é:
Vamos multiplicar as matrizes na ordem correta. Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos
pelo resultado acima:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
para o vetor
.
Primeiro, aplicamos a transformação
em
:
Agora, queremos expressar
na base
. Ou seja, encontrar scalars
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz da transformação na base
é
e as coordenadas de
na base
são
Exercícios relacionados
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(a)
(a)
Determine
e
da transformação linear
dada por
.
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(g) ;
(g)
Se
e
, encontre as compostas