Seja T: R^2 R^2, onde [T]=(cc1 & 1 -1 & 2): Encontre [T]beta^beta onde beta=(1,-1),(1,0), e[T(v)]beta para v=(2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo transformações lineares e mudança de base. A gente vai trabalhar com uma transformação linear representada por uma matriz específica. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a matriz da transformação na base .
  2. Encontrar as coordenadas de na base para o vetor .
Para isso, vamos precisar entender como mudar a representação de uma transformação linear para uma nova base e como calcular as coordenadas de um vetor em relação a essa base. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz [T] = 1 & 1 -1 & 2 representa a transformação P = 1 & 1 -1 & 0 na base P^-1 = 1(1)(0) - (1)(-1) 0 & -1 1 & 1 = 0 & -1 1 & 1 . Para encontrar essa matriz, precisamos da matriz de transformação na base padrão e das matrizes de transição entre a base padrão e a base .
A base padrão no é ã. A matriz de na base padrão é dada por:
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base para a base padrão, que chamaremos de . Essa matriz é formada colocando os vetores da base como colunas:
Para encontrar a matriz inversa de , denotada por , que nos ajuda a mudar da base padrão para a base , calculamos:

Passo 3

A fórmula para mudar a representação da matriz [T]beta^beta = P^-1 [T] P para a nova base [T] P = 1 & 1 -1 & 2 1 & 1 -1 & 0 = (1)(1) + (1)(-1) & (1)(1) + (1)(0) (-1)(1) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(0) = 0 & 1 -3 & -1 é:
[T]beta^beta = P^-1 [T] P = 0 & -1 1 & 1 0 & 1 -3 & -1 = (0)(0) + (-1)(-3) & (0)(1) + (-1)(-1) (1)(0) + (1)(-3) & (1)(1) + (1)(-1) = 3 & 1 -3 & 0
Vamos multiplicar as matrizes na ordem correta. Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicamos pelo resultado acima:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de T(v) = [T] cdot v = 1 & 1 -1 & 2 2 -2 = (1)(2) + (1)(-2) (-1)(2) + (2)(-2) = 0 -6 na base (0, -6) = a(1, -1) + b(1, 0) = (a + b, -a) para o vetor a + b = 0 -a = -6 .
Primeiro, aplicamos a transformação a = 6 6 + b = 0 Rightarrow b = -6 em 6 -6:
Agora, queremos expressar na base . Ou seja, encontrar scalars e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz da transformação na base [T]beta^beta = 3 & 1 -3 & 0 é
[T(v)]beta = 6 -6
e as coordenadas de na base são

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