Determine
e
da transformação linear
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o Núcleo (Ker) e a Imagem (Im) de uma transformação linear
que é definida por
. Basicamente, estamos lidando com transformações lineares no contexto de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como calcular cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Núcleo (Ker) de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
em
que são transformados em zero pela transformação
. Em termos matemáticos:
Como
, queremos encontrar todos os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 3
Então, vamos resolver
. Sabemos que a derivada de um polinômio é zero somente se o polinômio for constante. Ou seja, qualquer polinômio de grau zero, da forma
, onde
é uma constante real, satisfaz
.
Passo 4
Agora, vamos definir o Núcleo (Ker):
Isso significa que o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios constantes em
.
Passo 5
Agora, vamos para a Imagem (Im) da transformação linear
. A imagem de
é o conjunto de todos os polinômios em
que podem ser obtidos aplicando
a algum polinômio em
. Em outras palavras:
Como
, queremos saber quais polinômios lineares podem ser derivadas de polinômios de grau até 2.
Passo 6
Vamos considerar um polinômio geral em
:
A derivada desse polinômio é:
Vemos que
é sempre um polinômio de grau no máximo 1, ou seja, pertence a
.
Passo 7
Portanto, a Imagem (Im) de
é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau que podem ser escritos como
, onde
e
são reais. Isso inclui todos os polinômios lineares possíveis.
Resposta
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Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
© ;
©
Ex. 2. Simplifique:
(o) ;
(o)
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(f)
(f)
Seja
o operador linear dada por
(derivada). Encontre
onde
é base de
.