Determine Ker(T) e Im(T) da transformação linear T: P2 P1 dada por T(p(x))=p^prime(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o Núcleo (Ker) e a Imagem (Im) de uma transformação linear que é definida por . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares no contexto de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como calcular cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Núcleo (Ker) de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = p(x) in P2 mid T(p(x)) = 0 é o conjunto de todos os polinômios em que são transformados em zero pela transformação . Em termos matemáticos:
Como , queremos encontrar todos os polinômios cuja derivada é zero.

Passo 3

Então, vamos resolver . Sabemos que a derivada de um polinômio é zero somente se o polinômio for constante. Ou seja, qualquer polinômio de grau zero, da forma , onde é uma constante real, satisfaz .

Passo 4

Agora, vamos definir o Núcleo (Ker):
Ker(T) = p(x) = c mid c in R
Isso significa que o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios constantes em .

Passo 5

Agora, vamos para a Imagem (Im) da transformação linear Im(T) = T(p(x)) mid p(x) in P2 . A imagem de é o conjunto de todos os polinômios em que podem ser obtidos aplicando a algum polinômio em . Em outras palavras:
Como , queremos saber quais polinômios lineares podem ser derivadas de polinômios de grau até 2.

Passo 6

Vamos considerar um polinômio geral em p(x) = ax^2 + bx + c :
p^prime(x) = 2ax + b
A derivada desse polinômio é:
Vemos que é sempre um polinômio de grau no máximo 1, ou seja, pertence a .

Passo 7

Portanto, a Imagem (Im) de Im(T) = P1 é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau que podem ser escritos como , onde e são reais. Isso inclui todos os polinômios lineares possíveis.

Resposta

Ker(T) = p(x) = c mid c in R e Im(T) = P1

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