Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(f) (x+y)(x^3-x^2 y+x y^2-y^3)=x^4-y^4 ;( ^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar uma identidade algébrica. Basicamente, isso significa confirmar se duas expressões matemáticas são iguais para todos os valores possíveis das variáveis envolvidas. Aqui, estamos lidando com polinômios e precisamos usar propriedades de multiplicação e soma de termos semelhantes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar a identidade dada:
(x + y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) = x^4 - y^4
A ideia é multiplicar os termos dentro dos parênteses do lado esquerdo e ver se o resultado é igual ao lado direito da equação.

Passo 3

Vamos começar multiplicando cada termo do primeiro polinômio x cdot x^3 = x^4 pelos termos do segundo polinômio x cdot (-x^2y) = -x^3y . Isso significa que vamos distribuir o x cdot xy^2 = x^2y^2 e o x cdot (-y^3) = -xy^3 sobre cada termo do segundo polinômio.
Multiplicando o y cdot x^3 = x^3y :
y cdot (-x^2y) = -x^2y^2
y cdot xy^2 = xy^3
y cdot (-y^3) = -y^4
Agora, multiplicando o :

Passo 4

Agora, vamos juntar todos os termos que resultaram dessa multiplicação:
x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + x^3y - x^2y^2 + xy^3 - y^4
Vamos observar que alguns termos se cancelam:
  • x^4 - y^4 e se anulam.
  • e se anulam.
  • e se anulam.
Assim, o que sobra é:

Resposta

A identidade está correta, pois ao multiplicar o resultado é igual a .

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