Seja
o operador linear dada por
(derivada). Encontre
onde
é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz do operador linear
(que é a derivada) no espaço dos polinômios de grau no máximo 1, usando a base
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a derivada age nos vetores dessa base e como representar isso em forma de matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o operador
a cada vetor da base
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Agora temos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é expressar esses resultados (
e
) como combinações lineares dos vetores da base
. Ou seja, precisamos encontrar coeficientes
e
tais que:
-
Para
: -
Para
:
Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar
e
.
Passo 4
Resolvendo para
:
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo, encontramos:
Então:
Resolvendo para
:
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo, encontramos:
Então:
Passo 5
Agora que temos as combinações lineares, podemos montar a matriz
. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes
e
encontrados para cada vetor da base
.
Resposta
A matriz representação do operador
na base
é:
Exercícios relacionados
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(f)
(f)
Determine
e
da transformação linear
dada por
Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(d) O vetor pertence a
?
(d) O vetor
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(j) ;
(j)