Seja D: P1 P1 o operador linear dada por D(p(x))=p^prime(x) (derivada). Encontre [D]beta^beta onde beta=1+x, 1-x é base de P1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz do operador linear (que é a derivada) no espaço dos polinômios de grau no máximo 1, usando a base . Para resolver isso, vamos precisar entender como a derivada age nos vetores dessa base e como representar isso em forma de matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o operador D(1 + x) = ddx(1 + x) = 1 a cada vetor da base D(1 - x) = ddx(1 - x) = -1 :
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
Agora temos que e .

Passo 3

O próximo passo é expressar esses resultados ( 1 = a(1 + x) + b(1 - x) e -1 = a(1 + x) + b(1 - x) ) como combinações lineares dos vetores da base . Ou seja, precisamos encontrar coeficientes e tais que:
  1. Para :
  2. Para :
Vamos resolver esses sistemas de equações para encontrar e .

Passo 4

Resolvendo para 1 = a(1 + x) + b(1 - x) 1 = a + ax + b - bx 1 = (a + b) + x(a - b) :
a + b = 1 a - b = 0
Comparando os coeficientes, temos:
a = 0,5 b = 0,5
Resolvendo, encontramos:
D(1 + x) = 0,5(1 + x) + 0,5(1 - x)
Então:
-1 = a(1 + x) + b(1 - x) -1 = a + ax + b - bx -1 = (a + b) + x(a - b)
Resolvendo para a + b = -1 a - b = 0 :
a = -0,5 b = -0,5
Comparando os coeficientes, temos:
D(1 - x) = -0,5(1 + x) - 0,5(1 - x)
Resolvendo, encontramos:
Então:

Passo 5

Agora que temos as combinações lineares, podemos montar a matriz [D]beta^beta = 0,5 & -0,5 0,5 & -0,5 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes e encontrados para cada vetor da base .

Resposta

A matriz representação do operador [D]beta^beta = 12 & -12 12 & -12 na base é:

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