Determine
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace de uma função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo
para uma variável
. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que vamos integrar nossa função
multiplicada por
de 0 até o infinito.
Passo 3
Substituindo
na definição, temos:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Simplificando as exponenciais dentro das integrais:
Essas integrais são da forma
, que está relacionada à função logarítmica.
Passo 5
Sabemos que:
Aplicando isso às duas integrais:
Passo 6
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
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, onde:
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