Determine , onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace de uma função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para uma variável . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que vamos integrar nossa função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Substituindo na definição, temos:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 4

Simplificando as exponenciais dentro das integrais:
Essas integrais são da forma , que está relacionada à função logarítmica.

Passo 5

Sabemos que:
Aplicando isso às duas integrais:

Passo 6

Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

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