Determine e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso está relacionado à área de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada inversa e lidar com o deslocamento no tempo causado pelo termo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de é uma função que descreve um movimento oscilatório. De fato, sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, temos esse termo multiplicando nossa função. Isso representa um deslocamento no domínio do tempo. A propriedade que vamos usar diz que:
Onde é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de .

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso problema, temos e . Então:

Passo 5

Para finalizar, vamos interpretar essa função. Ela nos diz que a função começa a ser válida a partir de . Antes disso, ela é zero.

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa a função cosseno a partir de . O gráfico dessa função seria um cosseno normal que começa somente no ponto , permanecendo zero antes disso.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
©
Esboce os gráficos das seguintes funçōes para :
(d)
Mostre que a inversa da inversa de é a própria .
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .