Determine
e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso está relacionado à área de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada inversa e lidar com o deslocamento no tempo causado pelo termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de
é uma função que descreve um movimento oscilatório. De fato, sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, temos esse termo
multiplicando nossa função. Isso representa um deslocamento no domínio do tempo. A propriedade que vamos usar diz que:
Onde
é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função
a partir de
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso problema, temos
e
. Então:
Passo 5
Para finalizar, vamos interpretar essa função. Ela nos diz que a função
começa a ser válida a partir de
. Antes disso, ela é zero.
Resposta
A transformada inversa de Laplace é:
Onde
é a função degrau de Heaviside que ativa a função cosseno a partir de
. O gráfico dessa função seria um cosseno normal que começa somente no ponto
, permanecendo zero antes disso.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
©
©
Esboce os gráficos das seguintes funçōes para
:
(d)
(d)
Mostre que a inversa da inversa de
é a própria
.
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.