Mostre que a inversa da inversa de é a própria .

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos provar que a inversa da inversa de é a própria . Isso faz parte do estudo de funções e suas inversas, um conceito fundamental em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se é uma função que associa cada elemento de um conjunto a exatamente um elemento de um conjunto , então a função inversa de , denotada por , associa cada elemento de de volta a , de forma que:
para todo em e em . Isso significa que aplicar e depois (ou vice-versa) nos retorna ao valor original.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inversa da inversa de , ou seja, . Vamos usar a definição de função inversa para :
E também:
Essas duas equações mostram que “desfaz” a ação de , assim como “desfaz” a ação de .

Passo 4

Comparando com a definição original de , percebemos que:
Portanto, se substituirmos por na expressão , temos:
Que é exatamente a definição de . Isso demonstra que:

Resposta

A inversa da inversa de é a própria função .

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Determine e esboce seu gráfico.
Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
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Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .