Mostre que a inversa da inversa de
é a própria
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e queremos provar que a inversa da inversa de
é a própria
. Isso faz parte do estudo de funções e suas inversas, um conceito fundamental em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se
é uma função que associa cada elemento de um conjunto
a exatamente um elemento de um conjunto
, então a função inversa de
, denotada por
, associa cada elemento de
de volta a
, de forma que:
para todo
em
e
em
. Isso significa que aplicar
e depois
(ou vice-versa) nos retorna ao valor original.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a inversa da inversa de
, ou seja,
. Vamos usar a definição de função inversa para
:
E também:
Essas duas equações mostram que
“desfaz” a ação de
, assim como
“desfaz” a ação de
.
Passo 4
Comparando com a definição original de
, percebemos que:
Portanto, se substituirmos
por
na expressão
, temos:
Que é exatamente a definição de
. Isso demonstra que:
Resposta
A inversa da inversa de
é a própria função
.
Exercícios relacionados
Determine
e esboce seu gráfico.
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
©
©
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
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