Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos a função
que vai de
para
. Precisamos verificar se essa função é bijetiva, ou seja, se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Se for bijetiva, vamos provar isso e encontrar a função inversa. Se não for, vamos dar um exemplo que mostre que ela não é bijetiva. Para resolver, vamos usar conceitos básicos de injeção, sobrejeção e função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que dois valores diferentes de
dão o mesmo valor de
, esses dois valores de
na verdade são iguais.
Então, vamos supor que
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Isso mostra que a função é injetora porque só acontece que
dá
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor
no conjunto de chegada
, existe algum
no domínio
tal que
.
Tomando
:
Resolvendo para
:
Como a raiz cúbica está definida para todos os números reais, sempre existe um
que resolve essa equação para qualquer
real. Portanto, a função é sobrejetora.
Passo 4
Como a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetiva. Agora, vamos encontrar a função inversa.
Temos:
Para achar
em termos de
:
Então, a função inversa é:
Ou, escrevendo em termos de
:
Resposta
A função
é bijetiva e sua inversa é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a inversa da inversa de
é a própria
.
Determine
e esboce seu gráfico.
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
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Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
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