Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos a função que vai de para . Precisamos verificar se essa função é bijetiva, ou seja, se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Se for bijetiva, vamos provar isso e encontrar a função inversa. Se não for, vamos dar um exemplo que mostre que ela não é bijetiva. Para resolver, vamos usar conceitos básicos de injeção, sobrejeção e função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma função é injetora se, sempre que dois valores diferentes de dão o mesmo valor de , esses dois valores de na verdade são iguais.
Então, vamos supor que :
Dividindo ambos os lados por 2:
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Isso mostra que a função é injetora porque só acontece que .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor no conjunto de chegada , existe algum no domínio tal que .
Tomando :
Resolvendo para :
Como a raiz cúbica está definida para todos os números reais, sempre existe um que resolve essa equação para qualquer real. Portanto, a função é sobrejetora.

Passo 4

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetiva. Agora, vamos encontrar a função inversa.
Temos:
Para achar em termos de :
Então, a função inversa é:
Ou, escrevendo em termos de :

Resposta

A função é bijetiva e sua inversa é .

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Mostre que a inversa da inversa de é a própria .
Determine e esboce seu gráfico.
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .