Esboce o gráfico de e ache sua transformada de Laplace :
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função e encontrar sua transformada de Laplace. A função dada é para e depois se repete a cada intervalo de 1 unidade de tempo, ou seja, . Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e funções periódicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A função é definida como no intervalo de a e depois se repete. Isso significa que, de a , a função aumenta linearmente de a . Depois, de a , volta a começar de a , e assim por diante. Isso cria um gráfico em forma de dente de serra, repetindo o mesmo padrão a cada intervalo de 1 unidade de tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace dessa função periódica. A transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada pela fórmula:
No nosso caso, o período e no intervalo de a .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula da transformada de Laplace:
Agora, precisamos calcular a integral .

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão da transformada de Laplace:
Podemos simplificar essa expressão:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Esboce os gráficos das seguintes funçōes para :
(d)
Ache a transformada inversa de:
(1)
Determine e esboce seu gráfico.
Mostre que a inversa da inversa de é a própria .