Determine , se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas: , se e , se

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras:
  • Para , .
  • Para , .
Queremos encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:

Passo 3

Lembramos que existe uma regra importante para limites envolvendo senos:
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos reescrever o limite usando essa regra:
Aqui, separamos a fração para aplicar a regra do limite.

Passo 5

Aplicando o limite:
Então:

Resposta

Portanto, para que a função seja contínua em , o valor de deve ser .

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Calcule os limites :
Calcule os limites no infinito: .
Considerando as funções dadas abaixo, calcule:
Calcule os limites no infinito: