Verifique se são LD ou LI os vetores: u=(3,10,11)B, v=(4,7,-1)B

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se dois vetores, u = (3,10,11)B e v = (4,7,-1)B, são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre combinação linear e dependência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Dois vetores são linearmente dependentes se um deles puder ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número real). Ou seja, existe algum número k tal que u = k v. Se não existir esse número k, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos verificar se existe um escalar k que satisfaz a equação u = k v. Isso significa que cada componente de u deve ser igual ao correspondente de v multiplicado por k.
Então, temos as seguintes equações:
3 = 4k 10 = 7k 11 = -1k

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de k:
  1. Da primeira equação: 3 = 4k
    Rightarrow k = 34
  2. Da segunda equação: 10 = 7k
    Rightarrow k = 107
  3. Da terceira equação: 11 = -1k
    Rightarrow k = -11

Passo 5

Percebemos que os valores de k obtidos são todos diferentes:
k = 34, k = 107, k = -11
Isso significa que não existe um único valor de k que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Passo 6

Como não existe um escalar k que torna u = k v verdadeira para todas as componentes, concluímos que os vetores u e v não são linearmente dependentes.

Passo 7

Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente independentes.

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