Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se dois vetores, e , são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre combinação linear e dependência de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Dois vetores são linearmente dependentes se um deles puder ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número real). Ou seja, existe algum número tal que . Se não existir esse número , os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos verificar se existe um escalar que satisfaz a equação . Isso significa que cada componente de deve ser igual ao correspondente de multiplicado por .
Então, temos as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de k:
Da primeira equação: 3 = 4k Rightarrow k = 34
Da segunda equação: 10 = 7k Rightarrow k = 107
Da terceira equação: 11 = -1k Rightarrow k = -11
Passo 5
Percebemos que os valores de k obtidos são todos diferentes:
k = 34, k = 107, k = -11
Isso significa que não existe um único valor de k que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Passo 6
Como não existe um escalar k que torna u = k v verdadeira para todas as componentes, concluímos que os vetores u e vnão são linearmente dependentes.
Passo 7
Portanto, os vetores são linearmente independentes.