Determine o subespaço gerado pelos vetores e . Diga qual a sua dimensão e encontre uma base neste subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o subespaço gerado por quatro vetores no espaço . Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço e encontrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear, e determinação de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores que a gente tem:
Nosso objetivo é verificar quais desses vetores são linearmente independentes e, a partir disso, formar uma base para .
Passo 3
Vamos montar uma matriz onde cada coluna representa um desses vetores:
Agora, vamos realizar operações elementares na matriz para simplificar e identificar pivôs, o que nos ajudará a determinar a independência linear.
Passo 4
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira coluna como pivô. Subtraímos múltiplos da primeira linha das linhas abaixo para zerar os elementos abaixo do pivô:
Agora, vamos usar o segundo elemento da segunda linha como pivô. Para facilitar, podemos dividir a segunda linha por -4:
1 & 3 & 11 & 7 0 & 1 & 3 & 2 0 & -5 & -15 & -10
Em seguida, adicionamos 5 vezes a segunda linha à terceira linha para zerar o elemento abaixo do pivô:
1 & 3 & 11 & 7 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Passo 6
Observamos que conseguimos dois pivôs (nas colunas 1 e 2) e a terceira linha ficou de zeros. Isso significa que os vetores são dependentes e que temos apenas dois vetores linearmente independentes que formam uma base para .
Passo 7
Portanto, podemos escolher os primeiros dois vetores Base de W = v1 = (1, 2, 2), v2 = (3, 2, 1) e como base, já que eles são lineares e independentes:
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que nesse caso é 2.
Resposta
O subespaço gerado pelos vetores dados tem dimensão 2, e uma base para é formada pelos vetores e .