Determine o subespaço gerado pelos vetores e . Diga qual a sua dimensão e encontre uma base neste subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar o subespaço gerado por quatro vetores no espaço . Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço e encontrar uma base para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear, e determinação de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores que a gente tem:
Nosso objetivo é verificar quais desses vetores são linearmente independentes e, a partir disso, formar uma base para .

Passo 3

Vamos montar uma matriz onde cada coluna representa um desses vetores:
Agora, vamos realizar operações elementares na matriz para simplificar e identificar pivôs, o que nos ajudará a determinar a independência linear.

Passo 4

Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira coluna como pivô. Subtraímos múltiplos da primeira linha das linhas abaixo para zerar os elementos abaixo do pivô:

Passo 5

Agora, vamos usar o segundo elemento da segunda linha como pivô. Para facilitar, podemos dividir a segunda linha por -4:
Em seguida, adicionamos 5 vezes a segunda linha à terceira linha para zerar o elemento abaixo do pivô:

Passo 6

Observamos que conseguimos dois pivôs (nas colunas 1 e 2) e a terceira linha ficou de zeros. Isso significa que os vetores são dependentes e que temos apenas dois vetores linearmente independentes que formam uma base para .

Passo 7

Portanto, podemos escolher os primeiros dois vetores e como base, já que eles são lineares e independentes:
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que nesse caso é 2.

Resposta

O subespaço gerado pelos vetores dados tem dimensão 2, e uma base para é formada pelos vetores e .

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  • Sugestão: No passo de indução use que com e e, em seguida, use a fórmula vista em sala para a soma de uma P.A. de razão 1 .
Determine tal que o sistema seja Incompatível.
Se com , então .
Seja uma base de (espaço vetorial das matrizes ) dada pelos vetores: e Calcule o vetor coordenada de .