Determine (a)
; (b)
para o segundo estado excitado
de um poço quadrado infinito.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre mecânica quântica, especificamente sobre o poço quadrado infinito. O enunciado pede para determinar (a) o valor esperado de
,
, e (b) o valor esperado de
,
, para o segundo estado excitado, que corresponde a
. Para isso, vamos precisar conhecer as funções de onda dos estados de energia no poço infinito e as fórmulas para calcular os valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no poço quadrado infinito, as funções de onda são dadas por:
onde
é o número quântico principal (
) e
é a largura do poço.
Passo 3
O valor esperado de uma grandeza física, como
ou
, é calculado pela integral:
No nosso caso,
será
para
e
para
.
Passo 4
Vamos calcular
para
. Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o integrando é uma função par em relação ao centro do poço (
), o que indica simetria. Assim, devido à simetria do poço quadrado infinito, o valor esperado
para qualquer estado é simplesmente o centro do poço:
Passo 6
Agora, vamos calcular
para
. Usamos a mesma abordagem:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Calculamos as duas integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral, envolvendo o cosseno, pode ser resolvida por integração por partes ou consultando tabelas de integrais, resultando em:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Resposta
(a) O valor esperado
é
.
(b) O valor esperado é
.
(b) O valor esperado