Determine (a) lang<= xrang<=; (b) lang<= x^2rang<= para o segundo estado excitado (n=3) de um poço quadrado infinito.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre mecânica quântica, especificamente sobre o poço quadrado infinito. O enunciado pede para determinar (a) o valor esperado de x, lang<= x rang<=, e (b) o valor esperado de x^2, lang<= x^2 rang<=, para o segundo estado excitado, que corresponde a n=3. Para isso, vamos precisar conhecer as funções de onda dos estados de energia no poço infinito e as fórmulas para calcular os valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no poço quadrado infinito, as funções de onda são dadas por:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
onde n é o número quântico principal ( n=1,2,3,dots) e a é a largura do poço.

Passo 3

O valor esperado de uma grandeza física, como x ou x^2, é calculado pela integral:
lang<= f(x) rang<= = integral0^a psin^*(x) f(x) psin(x) , dx
No nosso caso, f(x) será x para lang<= x rang<= e x^2 para lang<= x^2 rang<=.

Passo 4

Vamos calcular lang<= x rang<= para n=3. Substituindo na fórmula, temos:
lang<= x rang<= = integral0^a (raiz2a sin(3pi xa)) x (raiz2a sin(3pi xa)) dx
Simplificando:
lang<= x rang<= = 2a integral0^a x sin^2(3pi xa) dx

Passo 5

Observamos que o integrando é uma função par em relação ao centro do poço ( x = a/2), o que indica simetria. Assim, devido à simetria do poço quadrado infinito, o valor esperado lang<= x rang<= para qualquer estado é simplesmente o centro do poço:
lang<= x rang<= = a2

Passo 6

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<= para n=3. Usamos a mesma abordagem:
lang<= x^2 rang<= = 2a integral0^a x^2 sin^2(3pi xa) dx
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso:
lang<= x^2 rang<= = 2a integral0^a x^2 (1 - cos(6pi xa)2) dx = 1a integral0^a x^2 , dx - 1a integral0^a x^2 cos(6pi xa) dx

Passo 7

Calculamos as duas integrais separadamente. A primeira integral é:
integral0^a x^2 , dx = [x^33]0^a = a^33
A segunda integral, envolvendo o cosseno, pode ser resolvida por integração por partes ou consultando tabelas de integrais, resultando em:
integral0^a x^2 cos(6pi xa) dx = 2a^3(6pi)^2 = a^318pi^2

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais na expressão de lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = 1a (a^33) - 1a (a^318pi^2) = a^23 - a^218pi^2 = a^2 (13 - 118pi^2)

Resposta

(a) O valor esperado lang<= x rang<= é a2.
(b) O valor esperado lang<= x^2 rang<= é a^2 (13 - 118pi^2).

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