Um elétron está preso em um defeito em um cristal. O defeito pode ser modelado como uma caixa unidimensional de paredes rígidas com largura de 1,00 nm. (a) Esboce as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados n=1 e n=2. (b) Para o estado n=1, encontre a probabilidade de encontrar o elétron entre x1=0,15 nm e x2= 0,35 nm, onde x=0 é o lado esquerdo da caixa. © Repita (b) para o estado n=2. (d) Calcule as energias em elétron-volts dos estados n=1 e n=2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso em um defeito num cristal, que podemos modelar como uma caixa unidimensional com paredes rígidas e largura de 1,00 nm. O exercício está dividido em quatro partes:
(a) Esboçar as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados e .
(b) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre nm e nm no estado .
© Repetir o cálculo da probabilidade para o estado .
(d) Determinar as energias dos estados e em elétron-volts.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa potencial, funções de onda, densidades de probabilidade e níveis de energia quantizados.

Passo 2

Vamos começar entendendo o modelo da caixa unidimensional com paredes rígidas, também conhecida como poço de potencial infinito. Nesse modelo, a partícula (neste caso, o elétron) está confinada em uma região de espaço onde o potencial é zero ( psin(x) = raiz2L sin(npi xL) ) dentro da caixa e infinito ( ) nas paredes. Isso significa que o elétron não pode existir fora da caixa.
As funções de onda descrevem o estado quântico do elétron e estão associadas aos estados de energia quantizados . Para uma caixa de largura , as funções de onda são dadas por:
onde é o número quântico principal ( ).
As densidades de probabilidade nos mostram onde é mais provável encontrar o elétron dentro da caixa.

Passo 3

Agora, vamos esboçar as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados psi1(x) = raiz2L sin(pi xL) e |psi1(x)|^2 = 2L sin^2(pi xL) .
Para psi2(x) = raiz2L sin(2pi xL) :
|psi2(x)|^2 = 2L sin^2(2pi xL)
A densidade de probabilidade é:
Para :
A densidade de probabilidade é:
Esboço das Funções de Onda e Densidades de Probabilidade:
  • Estado : A função de onda tem meio ciclo da função seno, começando do zero em , atingindo máximo em , e voltando a zero em . A densidade de probabilidade tem um pico no centro da caixa.
  • Estado : A função de onda completa um ciclo completo, começando e terminando em zero, com um nó (ponto onde ) no meio da caixa ( ). A densidade de probabilidade tem dois picos simétricos em torno do centro.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre P(a <= x <= b) = integrala^b |psin(x)|^2 dx nm e |psi1(x)|^2 = 2L sin^2(pi xL) nm no estado P(0,15 <= x <= 0,35) = integral0,15^0,35 21,00 sin^2(pi x1,00) dx .
Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula entre P = 2 integral0,15^0,35 sin^2(pi x) dx e sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 é dada pela integral da densidade de probabilidade entre esses limites:
P = 2 integral0,15^0,35 1 - cos(2pi x)2 dx = integral0,15^0,35 [1 - cos(2pi x)] dx
Para P = [ x - sin(2pi x)2pi ]0,15^0,35 :
P = (0,35 - sin(2pi times 0,35)2pi) - (0,15 - sin(2pi times 0,15)2pi)
Substituindo P = (0,35 - sin(0,7pi)2pi) - (0,15 - sin(0,3pi)2pi) nm, sin(0,7pi) = sin(pi - 0,3pi) = sin(0,3pi) approx 0,8090 nm e sin(0,3pi) approx 0,8090 nm:
P = (0,35 - 0,80902pi) - (0,15 - 0,80902pi)
Simplificando:
P = 0,35 - 0,15 = 0,20
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar a integral:
Então:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 20%.

Passo 5

Agora, vamos repetir o cálculo da probabilidade para o estado |psi2(x)|^2 = 2L sin^2(2pi xL) .
Para P(0,15 <= x <= 0,35) = integral0,15^0,35 21,00 sin^2(2pi x1,00) dx :
P = 2 integral0,15^0,35 sin^2(2pi x) dx
Com sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 nm, P = 2 integral0,15^0,35 1 - cos(4pi x)2 dx = integral0,15^0,35 [1 - cos(4pi x)] dx nm e P = [ x - sin(4pi x)4pi ]0,15^0,35 nm:
P = (0,35 - sin(4pi times 0,35)4pi) - (0,15 - sin(4pi times 0,15)4pi)
Simplificando:
P = (0,35 - sin(1,4pi)4pi) - (0,15 - sin(0,6pi)4pi)
Usamos novamente a identidade trigonométrica:
sin(1,4pi) = sin(pi + 0,4pi) = -sin(0,4pi) approx -0,5878
Então:
sin(0,6pi) approx 0,5878
Integrando termo a termo:
P = (0,35 - -0,58784pi) - (0,15 - 0,58784pi)
Calculando os valores:
P = 0,35 + 0,58784pi - 0,15 + 0,58784pi = 0,20 + 2 times 0,58784pi approx 0,20 + 1,175612,566 approx 0,20 + 0,0935 = 0,2935
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 29,35%.

Passo 6

Vamos agora calcular as energias dos estados En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 e pi^2 hbar^22 m L^2 = (3,1416)^2 times (1,0545718 times 10^-34)^22 times 9,10938356 times 10^-31 times (1,00 times 10^-9)^2 em elétron-volts (eV).
A energia dos estados em uma caixa unidimensional com paredes rígidas é dada pela fórmula:
pi^2 hbar^22 m L^2 approx 9,8696 times 1,1121 times 10^-682 times 9,1094 times 10^-31 times 1,00 times 10^-18 approx 1,098 times 10^-671,8219 times 10^-48 approx 6,02 times 10^-20 J
onde:
  • En = n^2 times 6,02 times 10^-201,602 times 10^-19 eV approx n^2 times 0,376 eV é o número quântico principal,
  • E1 approx 1^2 times 0,376 eV = 0,376 eV é a constante de Planck reduzida ( E2 approx 2^2 times 0,376 eV = 4 times 0,376 eV = 1,504 eV J·s),
  • é a massa do elétron ( kg),
  • é o comprimento da caixa (1,00 nm = m).
Primeiro, calculamos a constante prefatorial:
Calculando os valores numéricos:
Agora, convertendo para elétron-volts (1 eV = J):
Portanto:
  • Para :
  • Para :

Resposta

(a) As funções de onda para e são e , respectivamente. As densidades de probabilidade correspondentes têm picos no centro para e dois picos simétricos para .
(b) A probabilidade de encontrar o elétron entre 0,15 nm e 0,35 nm no estado é aproximadamente 20%.
© A probabilidade de encontrar o elétron entre 0,15 nm e 0,35 nm no estado é aproximadamente 29,35%.
(d) As energias dos estados são aproximadamente 0,376 eV para e 1,504 eV para , respectivamente.

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