Um elétron está preso em um defeito em um cristal. defeito pode ser modelado como uma caixa unidimensional de paredes rígidas com largura de 1,00 nm. (a) Esboce as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados e . (b) Para estado , encontre a probabilidade de encontrar o elétron entre e , onde é o lado esquerdo da caixa. © Repita (b) para o estado . (d) Calcule as energias em elétron-volts dos estados e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso em um defeito num cristal, que podemos modelar como uma caixa unidimensional com paredes rígidas e largura de 1,00 nm. O exercício está dividido em quatro partes:
(a) Esboçar as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados e .
(b) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre nm e nm no estado .
© Repetir o cálculo da probabilidade para o estado .
(d) Determinar as energias dos estados e em elétron-volts.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa potencial, funções de onda, densidades de probabilidade e níveis de energia quantizados.

Passo 2

Vamos começar entendendo o modelo da caixa unidimensional com paredes rígidas, também conhecida como poço de potencial infinito. Nesse modelo, a partícula (neste caso, o elétron) está confinada em uma região de espaço onde o potencial é zero ( ) dentro da caixa e infinito ( ) nas paredes. Isso significa que o elétron não pode existir fora da caixa.
As funções de onda descrevem o estado quântico do elétron e estão associadas aos estados de energia quantizados . Para uma caixa de largura , as funções de onda são dadas por:
onde é o número quântico principal ( ).
As densidades de probabilidade nos mostram onde é mais provável encontrar o elétron dentro da caixa.

Passo 3

Agora, vamos esboçar as funções de onda e as densidades de probabilidade para os estados e .
Para :
A densidade de probabilidade é:
Para :
A densidade de probabilidade é:
Esboço das Funções de Onda e Densidades de Probabilidade:
  • Estado : A função de onda tem meio ciclo da função seno, começando do zero em , atingindo máximo em , e voltando a zero em . A densidade de probabilidade tem um pico no centro da caixa.
  • Estado : A função de onda completa um ciclo completo, começando e terminando em zero, com um nó (ponto onde ) no meio da caixa ( ). A densidade de probabilidade tem dois picos simétricos em torno do centro.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre nm e nm no estado .
Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula entre e é dada pela integral da densidade de probabilidade entre esses limites:
Para :
Substituindo nm, nm e nm:
Simplificando:
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar a integral:
Então:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 20%.

Passo 5

Agora, vamos repetir o cálculo da probabilidade para o estado .
Para :
Com nm, nm e nm:
Simplificando:
Usamos novamente a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 29,35%.

Passo 6

Vamos agora calcular as energias dos estados e em elétron-volts (eV).
A energia dos estados em uma caixa unidimensional com paredes rígidas é dada pela fórmula:
onde:
  • é o número quântico principal,
  • é a constante de Planck reduzida ( J·s),
  • é a massa do elétron ( kg),
  • é o comprimento da caixa (1,00 nm = m).
Primeiro, calculamos a constante prefatorial:
Calculando os valores numéricos:
Agora, convertendo para elétron-volts (1 eV = J):
Portanto:
  • Para :
  • Para :

Resposta

(a) As funções de onda para e são e , respectivamente. As densidades de probabilidade correspondentes têm picos no centro para e dois picos simétricos para .
(b) A probabilidade de encontrar o elétron entre 0,15 nm e 0,35 nm no estado é aproximadamente 20%.
© A probabilidade de encontrar o elétron entre 0,15 nm e 0,35 nm no estado é aproximadamente 29,35%.
(d) As energias dos estados são aproximadamente 0,376 eV para e 1,504 eV para , respectivamente.

Exercícios relacionados

Um elétron é descrito pela função de onda
onde está em nanômetros e é uma constante. (a) Encontre o valor de que normaliza . (b) Onde é mais provável encontrar o elétron; isto é, para qual valor de a probabilidade de encontrar o elétron é maior? (Dica: o valor mais provável de ocorre quando é máxima) © Calcule para este elétron e compare seu resultado com sua posição mais provável. Comente as diferenças que encontrar.
O estado inicial de uma partícula é dado por
Onde
(a) Determine a constante de normalização; (b) Represente graficamente a densidade de probabilidade; © Determine o valor esperado da posição; (d) Calcule a incerteza (desvio padrão ), associada a esse valor médio.
Villate-1-2:A soma dos valores de duas cargas pontuais e é . Quando estão afastadas entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é . Determine os valores de e , se: (b) Uma das cargas é positiva e a outra negativa.
Determine (a) ; (b) para o segundo estado excitado de um poço quadrado infinito.