Sejam
transformações lineares dadas por
Determine as leis de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares,
e
, que mapeiam vetores de
para
. Nosso objetivo aqui é encontrar as leis de
e
, ou seja, descobrir como essas transformações compostas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas transformações. A transformação linear
é definida por:
Isso significa que, para qualquer vetor
,
vai somar as primeiras duas coordenadas para formar a primeira componente do novo vetor, somar a segunda e a terceira para a segunda componente, e deixar a terceira componente igual.
Já a transformação linear
é:
Aqui,
faz uma combinação diferente das coordenadas: soma o primeiro e o dobro do segundo para a primeira componente, subtrai a terceira do segundo para a segunda componente, e soma o primeiro com o dobro do terceiro para a terceira componente.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Isso significa que a gente vai aplicar
primeiro e depois
.
Então, se tivermos um vetor
, aplicamos
:
Agora, aplicamos
no resultado de
:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, ou seja, aplicar
primeiro e depois
.
Começamos com
:
Em seguida, aplicamos
no resultado de
:
Simplificando cada componente:
Resposta
As leis das transformações compostas são:
e
Exercícios relacionados
Seja
é uma transformação linear invertível tal que [
] é uma matriz de ordem
, determine
e
.
Calcule as seguintes derivadas
Seja
a transformação linear dada por
. Mostre que
em que
é a transformação identidade, dada por
.
Determine a lei da transformação linear
tal que
e
. A seguir, encontre
e
e verifique se
é invertível. Caso seja, determine sua inversa.