Sejam T, S: R^3 R^3 transformações lineares dadas por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z) e S(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Determine as leis de T circ S e S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares, e , que mapeiam vetores de para . Nosso objetivo aqui é encontrar as leis de e , ou seja, descobrir como essas transformações compostas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas transformações. A transformação linear T(x, y, z) = (x + y, y + z, z) é definida por:
S(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z)
Isso significa que, para qualquer vetor , vai somar as primeiras duas coordenadas para formar a primeira componente do novo vetor, somar a segunda e a terceira para a segunda componente, e deixar a terceira componente igual.
Já a transformação linear é:
Aqui, faz uma combinação diferente das coordenadas: soma o primeiro e o dobro do segundo para a primeira componente, subtrai a terceira do segundo para a segunda componente, e soma o primeiro com o dobro do terceiro para a terceira componente.

Passo 3

Vamos começar encontrando S(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) . Isso significa que a gente vai aplicar T(S(x, y, z)) = T(x + 2y, y - z, x + 2z) = ((x + 2y) + (y - z), (y - z) + (x + 2z), x + 2z) primeiro e depois T(S(x, y, z)) = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z) .
Então, se tivermos um vetor , aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar T(x, y, z) = (x + y, y + z, z) , ou seja, aplicar S(T(x, y, z)) = S(x + y, y + z, z) = ((x + y) + 2(y + z), (y + z) - z, (x + y) + 2z) primeiro e depois S(T(x, y, z)) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) .
Começamos com :
Em seguida, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:

Resposta

As leis das transformações compostas são:
T circ S (x, y, z) = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z)
e
S circ T (x, y, z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z)

Exercícios relacionados