Sejam transformações lineares dadas por
Determine as leis de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares, e , que mapeiam vetores de para . Nosso objetivo aqui é encontrar as leis de e , ou seja, descobrir como essas transformações compostas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas transformações. A transformação linear é definida por:
Isso significa que, para qualquer vetor , vai somar as primeiras duas coordenadas para formar a primeira componente do novo vetor, somar a segunda e a terceira para a segunda componente, e deixar a terceira componente igual.
Já a transformação linear é:
Aqui, faz uma combinação diferente das coordenadas: soma o primeiro e o dobro do segundo para a primeira componente, subtrai a terceira do segundo para a segunda componente, e soma o primeiro com o dobro do terceiro para a terceira componente.

Passo 3

Vamos começar encontrando . Isso significa que a gente vai aplicar primeiro e depois .
Então, se tivermos um vetor , aplicamos :
Agora, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , ou seja, aplicar primeiro e depois .
Começamos com :
Em seguida, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:

Resposta

As leis das transformações compostas são:
e

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Seja é uma transformação linear invertível tal que [ ] é uma matriz de ordem , determine e .
Calcule as seguintes derivadas
Seja a transformação linear dada por . Mostre que
em que é a transformação identidade, dada por .
Determine a lei da transformação linear tal que e . A seguir, encontre e e verifique se é invertível. Caso seja, determine sua inversa.