Determine , onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções multiplicadas por potências de e das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de é:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, queremos a transformada de . Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda com isso:
onde é a transformada de .

Passo 4

No nosso caso, e . Aplicando a propriedade:

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Simplificando ainda mais, podemos fatorar:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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