Determine
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções multiplicadas por potências de
e das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, queremos a transformada de
. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda com isso:
onde
é a transformada de
.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Aplicando a propriedade:
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Simplificando ainda mais, podemos fatorar:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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, onde:
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, onde:
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, onde: