Determine
. Dica: utilize a definição de derivada em um ponto, e escolha a função e um ponto conveniente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
tende a 0 da expressão
. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada em um ponto específico. Isso vai ajudar a gente a simplificar e encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Essa definição nos mostra como a função está mudando exatamente no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual função e qual ponto vamos usar. Observando a expressão
, podemos perceber que se pensarmos em
, e escolher
, a expressão se encaixa na definição de derivada:
Como
e
, simplifica para:
Que é exatamente o limite que queremos calcular.
Passo 4
Agora que identificamos que o limite é a derivada de
no ponto
, vamos calcular
de forma geral. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Aqui, derivamos a função exponencial
, cujo derivada é
, onde
. A derivada de
é
.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da derivada para encontrar
:
Sabemos que
,
, e
. Então:
Resposta
O limite
é igual a
.