Determine lim De. Dica: utilize a definição de derivada em um ponto, e escolha a função e um ponto conveniente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende a 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada em um ponto específico. Isso vai ajudar a gente a simplificar e encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função f'(a) = limDe em um ponto é dada por:
Essa definição nos mostra como a função está mudando exatamente no ponto .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual função e qual ponto vamos usar. Observando a expressão f'(0) = limDe, podemos perceber que se pensarmos em f'(0) = limDe, e escolher , a expressão se encaixa na definição de derivada:
Como e , simplifica para:
Que é exatamente o limite que queremos calcular.

Passo 4

Agora que identificamos que o limite é a derivada de f(x) = e^sin(pi x) no ponto f'(x) = e^sin(pi x) cdot cos(pi x) cdot pi , vamos calcular de forma geral. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
A derivada de em relação a é:
Aqui, derivamos a função exponencial , cujo derivada é , onde . A derivada de é .

Passo 5

Agora, substituímos f'(0) = e^sin(0) cdot cos(0) cdot pi na expressão da derivada para encontrar f'(0) = 1 cdot 1 cdot pi = pi :
Sabemos que , , e . Então:

Resposta

O limite é igual a .

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