Suponha que
seja derivável no intervalo
e que
para todo
. É verdade que
? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!
Passo 1
Então, o enunciado nos diz que temos uma função
que é derivável no intervalo
e que a derivada dessa função é
para todo
nesse intervalo. O conteúdo aqui envolve derivadas e o Teorema do Valor Médio. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da derivada afeta a função original e aplicar o Teorema do Valor Médio para formalizar nossa intuição.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na intuição geométrica da derivada. A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente à curva de
em cada ponto
. Se
e
é sempre positiva para todo
, isso significa que a função
está sempre crescendo no intervalo
.
Passo 3
Como
está sempre aumentando, isso implica que, à medida que
aumenta,
também aumenta. Portanto, se
, então
. Essa é a nossa intuição de que
é menor que
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teorema do Valor Médio para formalizar isso. O Teorema do Valor Médio diz que, se uma função é contínua em
e derivável em
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Sabemos que
e
(já que
). Portanto,
é o produto de dois números positivos, o que significa que
. Assim,
.
Resposta
Sim, é verdade que
.
Exercícios relacionados
Um recipiente com a forma de paralelepípedo de base quadrada tem um volume de
. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Calcule os limites: