Suponha que seja derivável no intervalo e que para todo . É verdade que ? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que temos uma função que é derivável no intervalo e que a derivada dessa função é para todo nesse intervalo. O conteúdo aqui envolve derivadas e o Teorema do Valor Médio. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da derivada afeta a função original e aplicar o Teorema do Valor Médio para formalizar nossa intuição.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na intuição geométrica da derivada. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva de em cada ponto . Se e é sempre positiva para todo , isso significa que a função está sempre crescendo no intervalo .

Passo 3

Como está sempre aumentando, isso implica que, à medida que aumenta, também aumenta. Portanto, se , então . Essa é a nossa intuição de que é menor que .

Passo 4

Agora, vamos usar o Teorema do Valor Médio para formalizar isso. O Teorema do Valor Médio diz que, se uma função é contínua em e derivável em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Sabemos que e (já que ). Portanto, é o produto de dois números positivos, o que significa que . Assim, .

Resposta

Sim, é verdade que .

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Um recipiente com a forma de paralelepípedo de base quadrada tem um volume de . Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível.
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de inflexão, os intervalos onde o gráfico da função tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo;
Calcule os limites: