Suponha que f(x) seja derivável no intervalo [a, b] e que f'(x) = 2^x para todo x ∈ [a, b]. É verdade que f(a) < f(b) ? Dica: confira primeiro a intuição geométrica de derivada para achar a resposta, e depois use o Teorema do Valor Médio para formalizar/generalizar o seu raciocínio!

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que temos uma função que é derivável no intervalo e que a derivada dessa função é para todo nesse intervalo. O conteúdo aqui envolve derivadas e o Teorema do Valor Médio. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da derivada afeta a função original e aplicar o Teorema do Valor Médio para formalizar nossa intuição.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na intuição geométrica da derivada. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva de em cada ponto . Se e é sempre positiva para todo , isso significa que a função está sempre crescendo no intervalo .

Passo 3

Como está sempre aumentando, isso implica que, à medida que aumenta, também aumenta. Portanto, se , então . Essa é a nossa intuição de que é menor que .

Passo 4

Agora, vamos usar o Teorema do Valor Médio para formalizar isso. O Teorema do Valor Médio diz que, se uma função é contínua em e derivável em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Sabemos que e (já que ). Portanto, é o produto de dois números positivos, o que significa que . Assim, .

Resposta

Sim, é verdade que .

Exercícios relacionados