Determine se existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina . Estude a continuidade de em ( 0,0 ), nos três casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra determinar se o limite de quando se aproxima de existe. Além disso, precisamos definir e ver se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares, que vão nos ajudar a avaliar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função . Ela está definida para todos os pontos , exceto no ponto , onde a expressão dá uma indeterminação . Por isso, definimos .
Para verificar se o limite existe e se a função é contínua em , vamos usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo), o que facilita a análise do comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando . Note que está sempre entre e , já que os cossenos e senos são funções limitadas. Assim,
Quando , . Pelo Teorema do Envelopamento (ou Squeeze Theorem), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto,
Isso significa que o limite de quando é .

Resposta

O limite de quando se aproxima de existe e é igual a . Além disso, como definimos , a função é contínua em .

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No conjunto parcialmente ordenado , encontre o ínfimo de , se existir;
Determine se existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina . Estude a continuidade de em ( 0,0 ), nos três casos.
Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine o ínfimo de , se existir;
Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?