Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu pra determinar se o limite de
quando
se aproxima de
existe. Além disso, precisamos definir
e ver se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares, que vão nos ajudar a avaliar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
. Ela está definida para todos os pontos
, exceto no ponto
, onde a expressão dá uma indeterminação
. Por isso, definimos
.
Para verificar se o limite existe e se a função é contínua em
, vamos usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo), o que facilita a análise do comportamento da função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
. Note que
está sempre entre
e
, já que os cossenos e senos são funções limitadas. Assim,
Quando
,
. Pelo Teorema do Envelopamento (ou Squeeze Theorem), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto,
Isso significa que o limite de
quando
é
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a
. Além disso, como definimos
, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
No conjunto parcialmente ordenado
, encontre o ínfimo de
, se existir;
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o ínfimo de
, se existir;
Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?