Determine se lim (x, y) (x0, y1) f(x, y) existe nos seguintes casos:
& @ f(x, y)=x^2 y^2x^2+y^2,(x0, y0)=(0,0)
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina f(0,0)=0. Estude a continuidade de f em ( 0,0 ), nos três casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra determinar se o limite de f(x, y) = x^2 y^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe. Além disso, precisamos definir f(0,0) = 0 e ver se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares, que vão nos ajudar a avaliar o comportamento da função perto de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função f(x, y) = x^2 y^2x^2+y^2. Ela está definida para todos os pontos (x, y), exceto no ponto (0,0), onde a expressão dá uma indeterminação 0/0. Por isso, definimos f(0,0) = 0.
Para verificar se o limite existe e se a função é contínua em (0,0), vamos usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar x e y em termos de r (a distância até a origem) e theta (o ângulo), o que facilita a análise do comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r costheta y = r sintheta x^2 + y^2 = r^2
Substituindo na função, temos:
f(x, y) = (r costheta)^2 (r sintheta)^2r^2 = r^4 cos^2theta sin^2thetar^2 = r^2 cos^2theta sin^2theta

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando r to 0. Note que cos^2theta sin^2theta está sempre entre 0 e 1, já que os cossenos e senos são funções limitadas. Assim,
0 <= r^2 cos^2theta sin^2theta <= r^2
Quando r to 0, r^2 to 0. Pelo Teorema do Envelopamento (ou Squeeze Theorem), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto,
limr to 0 r^2 cos^2theta sin^2theta = 0
Isso significa que o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0) é 0.

Resposta

O limite de f(x, y) = x^2 y^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe e é igual a 0. Além disso, como definimos f(0,0) = 0, a função f é contínua em (0,0).

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