Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque com água salgada e como a quantidade de sal muda com o tempo. Estamos lidando com equações diferenciais, que nos ajudam a entender como algo varia ao longo do tempo. Precisamos calcular quanto de sal vai ficar no tanque depois de meia hora, ou seja, 30 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que muda no tanque. A água salgada entra no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto, com cada litro trazendo 0,03 kg de sal. Então, a taxa de entrada de sal é:
Passo 3
Agora, a água sai do tanque na mesma taxa de 25 litros por minuto. A concentração de sal na água que sai depende de quanto sal tem no tanque naquele momento. Se
for a quantidade de sal no tanque no tempo
, a concentração é
kg/L. Assim, a taxa de saída de sal é:
Passo 4
A variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Então, temos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, rearranjamos:
Agora, encontramos o fator integrante, que é
.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao
:
Calculando a integral:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que no início (
), há 20 kg de sal:
Então, a solução é:
Passo 9
Agora, substituímos
minutos para encontrar a quantidade de sal após meia hora:
Calculando
:
Resposta
Após meia hora, aproximadamente 38,11 kg de sal permanecem no tanque.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o ínfimo de
, se existir;
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Seja
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. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine quando o conjunto
tem elemento mínimo?
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.