Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque com água salgada e como a quantidade de sal muda com o tempo. Estamos lidando com equações diferenciais, que nos ajudam a entender como algo varia ao longo do tempo. Precisamos calcular quanto de sal vai ficar no tanque depois de meia hora, ou seja, 30 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que muda no tanque. A água salgada entra no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto, com cada litro trazendo 0,03 kg de sal. Então, a taxa de entrada de sal é:

Passo 3

Agora, a água sai do tanque na mesma taxa de 25 litros por minuto. A concentração de sal na água que sai depende de quanto sal tem no tanque naquele momento. Se for a quantidade de sal no tanque no tempo , a concentração é kg/L. Assim, a taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

A variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Então, temos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, rearranjamos:
Agora, encontramos o fator integrante, que é .

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao :
Calculando a integral:

Passo 8

Resolvendo para :
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que no início ( ), há 20 kg de sal:
Então, a solução é:

Passo 9

Agora, substituímos minutos para encontrar a quantidade de sal após meia hora:
Calculando :

Resposta

Após meia hora, aproximadamente 38,11 kg de sal permanecem no tanque.

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