Determine se lim (x, y) (x0, y1) f(x, y) existe nos seguintes casos:
& (c) f(x, y)=x yraizx^2+y^2,(x0, y0)=(0,0)
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina f(0,0)=0. Estude a continuidade de f em ( 0,0 ), nos três casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Além disso, definimos que e precisamos ver se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limite em várias variáveis e estudar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar o limite de uma função de duas variáveis quando f(x, 0) = x cdot 0raizx^2+0^2 = 0 se aproxima de f(0, y) = 0 cdot yraiz0^2+y^2 = 0 . A ideia é ver se, independente do caminho que a gente escolha para chegar em f(x, kx) = x cdot kxraizx^2 + (kx)^2 = kx^2raizx^2(1 + k^2) = kx^2|x|raiz1 + k^2 , o valor da função k|x|raiz1 + k^2 tende para o mesmo número.
Vamos tentar alguns caminhos diferentes:
Caminho 1: f(rcostheta, rsintheta) = (rcostheta)(rsintheta)raiz(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2costhetasinthetar = rcosthetasintheta
  • Se a gente fixa , a função fica:
  • Então, conforme se aproxima de 0, tende para 0.
Caminho 2:
  • Fixando , a função fica:
  • Aqui, conforme se aproxima de 0, também tende para 0.
Até aqui, tudo bem, estamos vendo o limite igual a 0. Mas vamos testar outro caminho para ter certeza.
Caminho 3: onde é uma constante
  • Substituindo por , a função fica:
  • Simplificando, temos:
  • Conforme se aproxima de 0, esse valor também tende para 0.
Caminho 4: Usando coordenadas polares
  • Vamos mudar para coordenadas polares onde e , com .
  • Substituindo na função:
  • Agora, conforme se aproxima de 0, também tende para 0, independentemente do valor de .

Passo 3

Observamos que, em todos os caminhos que testamos, o limite da função tende para 0 quando se aproxima de . Isso indica que o limite existe e é igual a 0.
Além disso, como definimos e o limite também é 0, a função é contínua no ponto .

Resposta

O limite de quando se aproxima de existe e é igual a 0. Além disso, a função é contínua em .

Exercícios relacionados