Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Além disso, definimos que
e precisamos ver se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limite em várias variáveis e estudar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa verificar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A ideia é ver se, independente do caminho que a gente escolha para chegar em
, o valor da função
tende para o mesmo número.
Vamos tentar alguns caminhos diferentes:
Caminho 1:
- Se a gente fixa
, a função fica: - Então, conforme
se aproxima de 0, tende para 0.
Caminho 2:
- Fixando
, a função fica: - Aqui, conforme
se aproxima de 0, também tende para 0.
Até aqui, tudo bem, estamos vendo o limite igual a 0. Mas vamos testar outro caminho para ter certeza.
Caminho 3:
onde
é uma constante
- Substituindo
por , a função fica: - Simplificando, temos:
- Conforme
se aproxima de 0, esse valor também tende para 0.
Caminho 4: Usando coordenadas polares
- Vamos mudar para coordenadas polares onde
e , com . - Substituindo na função:
- Agora, conforme
se aproxima de 0, também tende para 0, independentemente do valor de .
Passo 3
Observamos que, em todos os caminhos que testamos, o limite da função
tende para 0 quando
se aproxima de
. Isso indica que o limite existe e é igual a 0.
Além disso, como definimos
e o limite também é 0, a função é contínua no ponto
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual a 0. Além disso, a função é contínua em
.
Exercícios relacionados
f)
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
No conjunto parcialmente ordenado
, encontre o ínfimo de
, se existir;
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.