Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o ínfimo de
, se existir;
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
e estamos olhando para todos os subconjuntos de
, que chamamos de
. Esse conjunto de subconjuntos está sendo ordenado pelo “está contido em”, ou seja, usamos a relação
. As coisas que precisamos resolver aqui envolvem teoria dos conjuntos e órdenes parciais. Nosso objetivo é encontrar o ínfimo do conjunto
, onde
e
são subconjuntos de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um ínfimo e como ele funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ínfimo. Em termos simples, o ínfimo de um conjunto em uma ordem parcial é o maior elemento que está abaixo de todos os elementos do conjunto. No nosso caso, queremos encontrar o maior subconjunto que está contido tanto em
quanto em
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com o conjunto das partes
ordenado por inclusão (
), buscar o ínfimo de
significa encontrar o maior conjunto que está incluído em ambos
e
. Esse conjunto é exatamente a interseção de
e
.
Passo 4
Vamos detalhar por que a interseção funciona como ínfimo. A interseção
contém todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. É o maior conjunto que satisfaz estar contido em ambos, porque qualquer outro conjunto que esteja incluído em
e
também estará incluído em
.
Resposta
O ínfimo de
no conjunto parcialmente ordenado
é a interseção dos conjuntos
e
, ou seja: