Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine o ínfimo de , se existir;

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e estamos olhando para todos os subconjuntos de , que chamamos de . Esse conjunto de subconjuntos está sendo ordenado pelo “está contido em”, ou seja, usamos a relação . As coisas que precisamos resolver aqui envolvem teoria dos conjuntos e órdenes parciais. Nosso objetivo é encontrar o ínfimo do conjunto , onde e são subconjuntos de . Para isso, vamos precisar entender o que é um ínfimo e como ele funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ínfimo. Em termos simples, o ínfimo de um conjunto em uma ordem parcial é o maior elemento que está abaixo de todos os elementos do conjunto. No nosso caso, queremos encontrar o maior subconjunto que está contido tanto em quanto em .

Passo 3

Como estamos trabalhando com o conjunto das partes ordenado por inclusão ( ), buscar o ínfimo de significa encontrar o maior conjunto que está incluído em ambos e . Esse conjunto é exatamente a interseção de e .

Passo 4

Vamos detalhar por que a interseção funciona como ínfimo. A interseção contém todos os elementos que estão tanto em quanto em . É o maior conjunto que satisfaz estar contido em ambos, porque qualquer outro conjunto que esteja incluído em e também estará incluído em .

Resposta

O ínfimo de no conjunto parcialmente ordenado é a interseção dos conjuntos e , ou seja:

Exercícios relacionados

Determine se existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina . Estude a continuidade de em ( 0,0 ), nos três casos.
No conjunto parcialmente ordenado , encontre o ínfimo de , se existir;
Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine quando o conjunto tem elemento mínimo?