Seja A um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado P(A), ⊆. Sejam X e Y subconjuntos de A. Determine o ínfimo de {X, Y}, se existir;

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto A e estamos olhando para todos os subconjuntos de A, que chamamos de P(A). Esse conjunto de subconjuntos está sendo ordenado pelo “está contido em”, ou seja, usamos a relação . As coisas que precisamos resolver aqui envolvem teoria dos conjuntos e órdenes parciais. Nosso objetivo é encontrar o ínfimo do conjunto {X, Y}, onde X e Y são subconjuntos de A. Para isso, vamos precisar entender o que é um ínfimo e como ele funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ínfimo. Em termos simples, o ínfimo de um conjunto em uma ordem parcial é o maior elemento que está abaixo de todos os elementos do conjunto. No nosso caso, queremos encontrar o maior subconjunto que está contido tanto em X quanto em Y.

Passo 3

Como estamos trabalhando com o conjunto das partes P(A) ordenado por inclusão ( ), buscar o ínfimo de {X, Y} significa encontrar o maior conjunto que está incluído em ambos X e Y. Esse conjunto é exatamente a interseção de X e Y.

Passo 4

Vamos detalhar por que a interseção funciona como ínfimo. A interseção contém todos os elementos que estão tanto em X quanto em Y. É o maior conjunto que satisfaz estar contido em ambos, porque qualquer outro conjunto que esteja incluído em X e Y também estará incluído em .

Resposta

O ínfimo de {X, Y} no conjunto parcialmente ordenado P(A), ⊆ é a interseção dos conjuntos X e Y, ou seja:

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