Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine quando o conjunto
tem elemento mínimo?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e estamos olhando para o conjunto das partes de
, denotado por
, que está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos (
). Queremos determinar quando o conjunto
, onde
e
são subconjuntos de
, possui um elemento mínimo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma ordem parcial, o que são elementos mínimos e como a inclusão de conjuntos funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma ordem parcial. Em matemática, uma ordem parcial é uma relação que satisfaz três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade. No nosso caso, a relação é a inclusão de conjuntos (
), que claramente satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos definir o que é um elemento mínimo em um conjunto parcialmente ordenado. Um elemento
é mínimo se não existe outro elemento
no conjunto tal que
e
. Ou seja,
é um dos menores elementos do conjunto em relação à ordem definida.
Passo 4
Aplicando isso ao conjunto
, queremos saber quando esse conjunto tem um elemento mínimo. Isso significa que queremos saber quando pelo menos um dos conjuntos,
ou
, não contém o outro.
Passo 5
Vamos analisar as possibilidades:
- Caso 1:
. Se está contido em , então é o elemento mínimo porque não há nenhum outro conjunto menor que dentro de . - Caso 2:
. Similarmente, se está contido em , então é o elemento mínimo. - Caso 3: Nem
nem . Nesse caso, nenhum dos conjuntos é mínimo em relação ao outro.
Resposta
O conjunto
tem elemento mínimo se e somente se
ou
.
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Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o ínfimo de
, se existir;
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau