Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine quando o conjunto tem elemento mínimo?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e estamos olhando para o conjunto das partes de , denotado por , que está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos ( ). Queremos determinar quando o conjunto , onde e são subconjuntos de , possui um elemento mínimo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma ordem parcial, o que são elementos mínimos e como a inclusão de conjuntos funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma ordem parcial. Em matemática, uma ordem parcial é uma relação que satisfaz três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade. No nosso caso, a relação é a inclusão de conjuntos ( ), que claramente satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos definir o que é um elemento mínimo em um conjunto parcialmente ordenado. Um elemento é mínimo se não existe outro elemento no conjunto tal que e . Ou seja, é um dos menores elementos do conjunto em relação à ordem definida.

Passo 4

Aplicando isso ao conjunto , queremos saber quando esse conjunto tem um elemento mínimo. Isso significa que queremos saber quando pelo menos um dos conjuntos, ou , não contém o outro.

Passo 5

Vamos analisar as possibilidades:
  • Caso 1: . Se está contido em , então é o elemento mínimo porque não há nenhum outro conjunto menor que dentro de .
  • Caso 2: . Similarmente, se está contido em , então é o elemento mínimo.
  • Caso 3: Nem nem . Nesse caso, nenhum dos conjuntos é mínimo em relação ao outro.

Resposta

O conjunto tem elemento mínimo se e somente se ou .

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