Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, que faz parte da matéria de cálculo diferencial multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Para que o limite
exista, o valor da função deve ser o mesmo independentemente do caminho que
toma para chegar a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Uma maneira comum é escolher caminhos lineares, como
, que passam pelo ponto
.
Passo 4
Primeiro, escolhemos o caminho
. Substituindo na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.
Passo 5
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
, onde
é uma constante diferente de zero. Substituindo na função:
Então, quando
:
Esse limite depende do valor de
, o que significa que diferentes caminhos
resultam em limites diferentes.
Passo 6
Como obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos (
levou a uma indeterminação, e
levou a
), podemos concluir que o limite não existe. A função não se aproxima de um único valor quando
se aproxima de
.
Resposta
O limite
não existe porque abordando o ponto
por diferentes caminhos resulta em valores de limite distintos ou em indeterminações.
Exercícios relacionados
isto é, existe um número natural não nulo
tal que
. Mostre que essa é uma relação de ordem
.
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
f)
Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.