Determine se lim (x, y) (x0, y1) f(x, y) existe nos seguintes casos:
& (d) f(x, y)=x yy-2 x,(x0, y0)=(1,2)
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina f(0,0)=0. Estude a continuidade de f em ( 0,0 ), nos três casos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, que faz parte da matéria de cálculo diferencial multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Para que o limite exista, o valor da função deve ser o mesmo independentemente do caminho que toma para chegar a .

Passo 3

Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Uma maneira comum é escolher caminhos lineares, como , que passam pelo ponto .

Passo 4

Primeiro, escolhemos o caminho f(x, y) = x cdot yy - 2x = x cdot 2x2x - 2x = 2x^20 . Substituindo na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.

Passo 5

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, f(x, y) = x cdot (2x + k)(2x + k) - 2x = x(2x + k)k = 2x^2 + kxk = 2x^2k + x , onde limx 1 ( 2x^2k + x ) = 2 cdot 1^2k + 1 = 2k + 1 é uma constante diferente de zero. Substituindo na função:
Então, quando :
Esse limite depende do valor de , o que significa que diferentes caminhos resultam em limites diferentes.

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos ( levou a uma indeterminação, e levou a ), podemos concluir que o limite não existe. A função não se aproxima de um único valor quando se aproxima de .

Resposta

O limite não existe porque abordando o ponto por diferentes caminhos resulta em valores de limite distintos ou em indeterminações.

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