Determine
lim n infty 1^2+2^2+3^2+cdots+n^2n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve somar quadrados de números de 1 até e depois dividir por . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e séries numéricas. Vamos precisar saber como calcular a soma dos quadrados e entender um pouquinho sobre crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a soma dos quadrados dos primeiros 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)6 números naturais é dada por
Essa fórmula nos ajuda a calcular rapidamente essa soma sem precisar somar termo por termo.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa fórmula na expressão do limite:
limn infty 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2n^3 = limn infty n(n + 1)(2n + 1)6n^3

Passo 4

Vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador:
n(n + 1)(2n + 1)6n^3 = n(n + 1)(2n + 1)6n^3 = (n + 1)(2n + 1)6n^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
(n + 1)(2n + 1) = 2n^2 + n + 2n + 1 = 2n^2 + 3n + 1
Então, a expressão fica:
2n^2 + 3n + 16n^2

Passo 6

Dividimos cada termo do numerador por 2n^26n^2 + 3n6n^2 + 16n^2 = 26 + 36n + 16n^2 = 13 + 12n + 16n^2 :

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito. Os termos e vão para zero porque está no denominador e está ficando muito grande.

Resposta

Portanto, o limite é
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