Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve somar quadrados de números de 1 até
e depois dividir por
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e séries numéricas. Vamos precisar saber como calcular a soma dos quadrados e entender um pouquinho sobre crescimento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais é dada por
Essa fórmula nos ajuda a calcular rapidamente essa soma sem precisar somar termo por termo.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa fórmula na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Dividimos cada termo do numerador por
:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito. Os termos
e
vão para zero porque
está no denominador e está ficando muito grande.
Resposta
Portanto, o limite é