Sejam
e
definidas assim:
Mostre que:
a)
.
b)
é crescente.
c)
é decrescente.
d)
e
tem o mesmo limite chamado de
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar algumas propriedades de duas sequências definidas por
e
para todo
natural. A gente vai precisar usar conceitos de sequências, desigualdades e limites para resolver as partes (a) a (d).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) que pede para mostrar que
para todo
natural. Olha só, temos:
Como
para todo
, multiplicando
por um número maior que 1, a gente tem:
Portanto,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) que diz que a sequência
é crescente. Ou seja, precisamos provar que
para todo
.
Temos:
E sabemos que:
Para comparar
e
, podemos olhar para a função
. Sabemos que, conforme
aumenta, essa função se aproxima de
, mas no caso específico, para valores de
maiores,
está aumentando. Portanto,
, mostrando que a sequência é crescente.
Passo 4
Vamos para a parte c), que pede para mostrar que a sequência
é decrescente, ou seja,
para todo
.
Temos:
E:
Comparando
e
, percebemos que
porque
. Além disso, o expoente em
cresce menos em relação à base comparado com
. Isso faz com que
, confirmando que a sequência é decrescente.
Passo 5
Por último, na parte d), precisamos mostrar que as sequências
e
têm o mesmo limite, conhecido como
.
Sabemos que
é definido como:
Ou seja,
. Para
:
Como já sabemos que
tende a
e
tende a 1 quando
vai para o infinito, temos:
Portanto, ambas as sequências
e
têm o mesmo limite
.
Resposta
a)
para todo
.
b) A sequência
é crescente.
c) A sequência
é decrescente.
d) Ambas as sequências
e
têm o limite
.