Sejam a_n e b_n definidas assim:
a_n = (1 + 1/n)^n e b_n = (1 + 1/n)^(n + 1) para todo n em N
Mostre que:
a) a_n < b_n, para todo n em N.
b) a_n é crescente.
c) b_n é decrescente.
d) a_n e b_n tem o mesmo limite chamado de e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar algumas propriedades de duas sequências definidas por e para todo natural. A gente vai precisar usar conceitos de sequências, desigualdades e limites para resolver as partes (a) a (d).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) que pede para mostrar que para todo natural. Olha só, temos:
Como para todo , multiplicando por um número maior que 1, a gente tem:
Portanto, para todo .

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) que diz que a sequência é crescente. Ou seja, precisamos provar que para todo .
Temos:
E sabemos que:
Para comparar e , podemos olhar para a função . Sabemos que, conforme aumenta, essa função se aproxima de , mas no caso específico, para valores de maiores, está aumentando. Portanto, , mostrando que a sequência é crescente.

Passo 4

Vamos para a parte c), que pede para mostrar que a sequência é decrescente, ou seja, para todo .
Temos:
E:
Comparando e , percebemos que porque . Além disso, o expoente em cresce menos em relação à base comparado com . Isso faz com que , confirmando que a sequência é decrescente.

Passo 5

Por último, na parte d), precisamos mostrar que as sequências e têm o mesmo limite, conhecido como .
Sabemos que é definido como:
Ou seja, . Para :
Como já sabemos que tende a e tende a 1 quando vai para o infinito, temos:
Portanto, ambas as sequências e têm o mesmo limite .

Resposta

a) para todo .
b) A sequência é crescente.
c) A sequência é decrescente.
d) Ambas as sequências e têm o limite .

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