Mostre que a sequência x_n dada por
x_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a sequência é divergente. Isso está ligado ao estudo de sequências e séries na matemática, mais especificamente sobre se essa sequência tem um limite ou não quando cresce indefinidamente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser divergente e usar um critério simples para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser divergente. Uma sequência é divergente se, à medida que aumenta, os termos da sequência não se aproximam de nenhum número fixo. Ou seja, não tem um limite finito.

Passo 3

Agora, observamos a sequência dada: . Essa é conhecida como a sequência das somas parciais da série harmônica.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica é uma série famosa que é divergente. Isso significa que, mesmo somando termos cada vez menores, a soma total cresce sem limite à medida que adicionamos mais termos.

Passo 5

Como a série harmônica é divergente, as somas parciais também não se aproximam de nenhum número finito. Em outras palavras, aumenta para o infinito conforme cresce.

Resposta

Portanto, a sequência é divergente, pois seus termos crescem sem limite conforme aumenta.

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