Mostre que a sequência
dada por
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a sequência
é divergente. Isso está ligado ao estudo de sequências e séries na matemática, mais especificamente sobre se essa sequência tem um limite ou não quando
cresce indefinidamente. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser divergente e usar um critério simples para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
ser divergente. Uma sequência é divergente se, à medida que
aumenta, os termos da sequência não se aproximam de nenhum número fixo. Ou seja,
não tem um limite finito.
Passo 3
Agora, observamos a sequência dada:
. Essa é conhecida como a sequência das somas parciais da série harmônica.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
é uma série famosa que é divergente. Isso significa que, mesmo somando termos cada vez menores, a soma total cresce sem limite à medida que adicionamos mais termos.
Passo 5
Como a série harmônica é divergente, as somas parciais
também não se aproximam de nenhum número finito. Em outras palavras,
aumenta para o infinito conforme
cresce.
Resposta
Portanto, a sequência
é divergente, pois seus termos crescem sem limite conforme
aumenta.