Se uma sequência de Cauchy,
possui uma subsequência convergindo para
, mostre que
.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma sequência de Cauchy,
, que possui uma subsequência que converge para um número real
. Precisamos demonstrar que toda a sequência
converge para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
- Sequência de Cauchy: uma sequência onde os termos ficam cada vez mais próximos entre si conforme avançamos na sequência.
- Convergência de uma sequência: uma sequência converge para um número
se os seus termos se aproximam cada vez mais de . - Subsequência: uma sequência obtida a partir da sequência original selecionando alguns termos sem mudar a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Uma sequência
é de Cauchy se, para qualquer
, existe um número
tal que, para todos
, a distância entre
e
é menor que
. Em termos matemáticos:
Isso significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência.
Passo 3
Sabemos que
é uma sequência de Cauchy e que existe uma subsequência dela que converge para
, ou seja, existe uma subsequência
tal que:
Nosso objetivo é mostrar que toda a sequência
converge para
, isto é:
Passo 4
Como
é uma sequência de Cauchy e sabemos que no conjunto dos números reais
, toda sequência de Cauchy converge, isso já nos diz que
tem um limite
em
. Então, temos:
Nosso próximo passo é mostrar que esse limite
é igual a
.
Passo 5
Já que a subsequência
converge para
, podemos escrever:
Por outro lado, também sabemos que a sequência inteira
converge para
, então também a subsequência
deve convergir para
. Ou seja:
Passo 6
Agora, igualando as duas expressões para a subsequência, temos:
Portanto, o limite da sequência
é igual a
.
Resposta
Assim, demonstramos que
.