Se uma sequência de Cauchy, (xn)n in N possui uma subsequência convergindo para a in R, mostre que lim n infty xn=a.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo e identificar o conteúdo envolvido. Temos uma sequência de Cauchy, (xn)n in N, que possui uma subsequência que converge para um número real a. Precisamos demonstrar que toda a sequência (xn) converge para a.
Para resolver isso, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
  • Sequência de Cauchy: uma sequência onde os termos ficam cada vez mais próximos entre si conforme avançamos na sequência.
  • Convergência de uma sequência: uma sequência converge para um número a se os seus termos se aproximam cada vez mais de a.
  • Subsequência: uma sequência obtida a partir da sequência original selecionando alguns termos sem mudar a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Uma sequência (xn) é de Cauchy se, para qualquer epsilon > 0, existe um número N tal que, para todos m, n > N, a distância entre xm e xn é menor que epsilon. Em termos matemáticos:
forall epsilon > 0, exists N in N tal que forall m, n > N, |xm - xn| < epsilon
Isso significa que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência.

Passo 3

Sabemos que (xn) é uma sequência de Cauchy e que existe uma subsequência dela que converge para a, ou seja, existe uma subsequência (xnk) tal que:
limk to infty xnk = a
Nosso objetivo é mostrar que toda a sequência (xn) converge para a, isto é:
limn to infty xn = a

Passo 4

Como (xn) é uma sequência de Cauchy e sabemos que no conjunto dos números reais R, toda sequência de Cauchy converge, isso já nos diz que (xn) tem um limite L em R. Então, temos:
limn to infty xn = L
Nosso próximo passo é mostrar que esse limite L é igual a a.

Passo 5

Já que a subsequência (xnk) converge para a, podemos escrever:
limk to infty xnk = a
Por outro lado, também sabemos que a sequência inteira (xn) converge para L, então também a subsequência (xnk) deve convergir para L. Ou seja:
limk to infty xnk = L

Passo 6

Agora, igualando as duas expressões para a subsequência, temos:
L = a
Portanto, o limite da sequência (xn) é igual a a.

Resposta

Assim, demonstramos que lim n infty xn = a.

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