Determine: lim t 1 1t-1t-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim t 1 1t-1t-1. Aqui, estamos lidando com o cálculo de limites, que é uma parte importante do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que dão formas indeterminadas, como 0/0, e aplicar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de t = 1 na expressão para ver o que acontece:
11 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00
A gente se depara com a forma indeterminada 0/0, o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver isso.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada 0/0 em um limite, podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se limx to a f(x)g(x) dá 0/0 ou ∞/∞, então podemos calcular o limite das derivadas:
limx to a f'(x)g'(x)

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital ao nosso limite, identificamos:
f(t) = 1t - 1 e g(t) = t - 1
Agora, vamos calcular as derivadas de f(t) e g(t) em relação a t.

Passo 5

Calculando as derivadas:
f'(t) = ddt(1t) - ddt(1) = -1t^2 - 0 = -1t^2
g'(t) = ddt(t) - ddt(1) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:
lim t 1 f'(t)g'(t) = lim t 1 -1t^21 = lim t 1 -1t^2

Passo 7

Com essa nova expressão, podemos substituir diretamente t = 1:
-11^2 = -1

Resposta

O limite é igual a -1.

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