Prove as propriedade do logaritmo para a função
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício pedindo para provar as propriedades dos logaritmos usando a função
, onde
é um número real positivo diferente de 1. Basicamente, vamos ver como os logaritmos se comportam quando a gente está multiplicando, dividindo ou elevando potências. Para resolver isso, a gente vai usar as definições básicas de logaritmo e algumas propriedades das exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a propriedade que diz que
. Para isso, lembre-se que
é o expoente que a base
precisa ter para resultar em
. Então, se
e
, multiplicando essas duas equações temos:
Como as bases são iguais, somamos os expoentes:
Mas
, então:
Pronto, essa propriedade está provada!
Passo 3
Agora, vamos para a propriedade
. Usando a mesma lógica, sabemos que:
Dividindo essas duas equações:
Quando dividimos potências de mesma base, subtraímos os expoentes:
Mas
, então:
Pronto, essa propriedade também está provada!
Passo 4
Por último, vamos provar que
. Aqui,
é um expoente qualquer. Sabemos que:
Elevando ambos os lados à potência
:
Usando a propriedade das potências, multiplicamos os expoentes:
Mas também podemos escrever
como
, então:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
Pronto, essa última propriedade está provada!
Resposta
As propriedades do logaritmo para a função
são:
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, ou
em geral?
Determine: