Prove as propriedade do logaritmo para a função para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício pedindo para provar as propriedades dos logaritmos usando a função , onde é um número real positivo diferente de 1. Basicamente, vamos ver como os logaritmos se comportam quando a gente está multiplicando, dividindo ou elevando potências. Para resolver isso, a gente vai usar as definições básicas de logaritmo e algumas propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos provar a propriedade que diz que . Para isso, lembre-se que é o expoente que a base precisa ter para resultar em . Então, se e , multiplicando essas duas equações temos:
Como as bases são iguais, somamos os expoentes:
Mas , então:
Pronto, essa propriedade está provada!

Passo 3

Agora, vamos para a propriedade . Usando a mesma lógica, sabemos que:
Dividindo essas duas equações:
Quando dividimos potências de mesma base, subtraímos os expoentes:
Mas , então:
Pronto, essa propriedade também está provada!

Passo 4

Por último, vamos provar que . Aqui, é um expoente qualquer. Sabemos que:
Elevando ambos os lados à potência :
Usando a propriedade das potências, multiplicamos os expoentes:
Mas também podemos escrever como , então:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
Pronto, essa última propriedade está provada!

Resposta

As propriedades do logaritmo para a função são:

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