Como usar somas de Riemann para encontrar valores aproximados de
, ou
em geral?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver como usar somas de Riemann para aproximar o valor de
ou, mais geralmente,
. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente o uso de integrais definidas para representar logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas podem aproximar áreas sob curvas, que no nosso caso representam o valor de
.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural de
,
, pode ser representado por uma integral definida:
Isso significa que para encontrar
, por exemplo, precisamos calcular a área sob a curva da função
entre
e
.
Passo 3
Agora, para aproximar essa integral usando somas de Riemann, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, chamado de
, será:
Passo 4
Em seguida, escolhemos pontos em cada subintervalo para avaliar a função
. Existem diferentes tipos de somas de Riemann: à esquerda, à direita ou pelo ponto médio. Vamos usar a soma de Riemann à direita para este exemplo. O ponto à direita de cada subintervalo é dado por:
Passo 5
A soma de Riemann à direita fica então:
Simplificando, temos:
Passo 6
Para encontrar uma aproximação de
, escolhemos um valor para
, por exemplo,
. Então, calculamos cada termo da soma:
Passo 7
Calculando cada fração:
Resposta
Portanto, usando uma soma de Riemann à direita com
, obtemos uma aproximação de
. Quanto maior o valor de
, mais precisa será a aproximação.
Exercícios relacionados
Prove as propriedade do logaritmo para a função
para
.
Determine:
Determine:
Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do
.
e
.