Como usar somas de Riemann para encontrar valores aproximados de , ou em geral?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver como usar somas de Riemann para aproximar o valor de ou, mais geralmente, . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente o uso de integrais definidas para representar logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas podem aproximar áreas sob curvas, que no nosso caso representam o valor de .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural de , , pode ser representado por uma integral definida:
Isso significa que para encontrar , por exemplo, precisamos calcular a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Agora, para aproximar essa integral usando somas de Riemann, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, chamado de , será:

Passo 4

Em seguida, escolhemos pontos em cada subintervalo para avaliar a função . Existem diferentes tipos de somas de Riemann: à esquerda, à direita ou pelo ponto médio. Vamos usar a soma de Riemann à direita para este exemplo. O ponto à direita de cada subintervalo é dado por:

Passo 5

A soma de Riemann à direita fica então:
Simplificando, temos:

Passo 6

Para encontrar uma aproximação de , escolhemos um valor para , por exemplo, . Então, calculamos cada termo da soma:

Passo 7

Calculando cada fração:

Resposta

Portanto, usando uma soma de Riemann à direita com , obtemos uma aproximação de . Quanto maior o valor de , mais precisa será a aproximação.

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Prove as propriedade do logaritmo para a função para .
Determine:
Determine:
Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do . e .