Determine
onde
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite, quando
tende ao infinito, da função vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e aplicar isso em cada componente do vetor.
Passo 2
A ideia aqui é simples: para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente calcula o limite de cada uma das suas componentes individualmente. Então, vamos analisar cada parte da
separadamente.
Passo 3
Primeira componente:
.
Sabemos que, conforme
aumenta sem parar, a raiz quadrada de
também cresce. Matematicamente:
Passo 4
Segunda componente:
.
Aqui, temos o produto de
(que vai para o infinito) com
(que também cresce, mas de forma mais lenta). Mesmo assim, o produto desses dois termos vai para o infinito:
Passo 5
Terceira componente:
.
A função exponencial negativa diminui rapidamente à medida que
cresce. Ou seja,
tende a zero quando
vai para o infinito:
Resposta
Juntando tudo, o limite de
quando
tende ao infinito é: