Determine lim t infty r(t) onde r(t)=(raizt, t ln (t), e^-t).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite, quando tende ao infinito, da função vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e aplicar isso em cada componente do vetor.

Passo 2

A ideia aqui é simples: para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente calcula o limite de cada uma das suas componentes individualmente. Então, vamos analisar cada parte da separadamente.

Passo 3

Primeira componente: limt to infty raizt = infty .
Sabemos que, conforme aumenta sem parar, a raiz quadrada de também cresce. Matematicamente:

Passo 4

Segunda componente: limt to infty t ln(t) = infty .
Aqui, temos o produto de (que vai para o infinito) com (que também cresce, mas de forma mais lenta). Mesmo assim, o produto desses dois termos vai para o infinito:

Passo 5

Terceira componente: limt to infty e^-t = 0 .
A função exponencial negativa diminui rapidamente à medida que cresce. Ou seja, tende a zero quando vai para o infinito:

Resposta

Juntando tudo, o limite de limt to infty r(t) = ( infty,; infty,; 0 ) quando tende ao infinito é:

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