Encontre o domínio de f(t) = (tan(t), t^(1/2), ln(t+2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e depois ver onde todas elas funcionam ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . A tangente de está definida para todos os valores de exceto onde o cosseno de é zero, porque . Sabemos que o cosseno de é zero quando:
éú
Então, o domínio da é todos os reais menos esses pontos.

Passo 3

Agora, vamos analisar . A raiz quadrada de está definida somente quando é maior ou igual a zero, porque não podemos ter raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais. Assim, para :

Passo 4

Em seguida, vemos a função . O logaritmo natural está definido apenas quando seu argumento é positivo. Portanto, precisamos que:
Então, para :

Passo 5

Agora que temos os domínios de cada componente, precisamos encontrar os valores de que satisfazem todas essas condições ao mesmo tempo. Ou seja:
  1. (do logaritmo)
  2. (da raiz quadrada)
  3. onde é inteiro (da tangente)
A condição mais restritiva aqui é , porque já está incluído. Então, combinando isso com a restrição da tangente, o domínio final é:
é

Resposta

O domínio de é todos os números reais tais que:

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