Encontre o domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e depois ver onde todas elas funcionam ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. A tangente de
está definida para todos os valores de
exceto onde o cosseno de
é zero, porque
. Sabemos que o cosseno de
é zero quando:
Então, o domínio da
é todos os reais menos esses pontos.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. A raiz quadrada de
está definida somente quando
é maior ou igual a zero, porque não podemos ter raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais. Assim, para
:
Passo 4
Em seguida, vemos a função
. O logaritmo natural está definido apenas quando seu argumento é positivo. Portanto, precisamos que:
Então, para
:
Passo 5
Agora que temos os domínios de cada componente, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem todas essas condições ao mesmo tempo. Ou seja:
-
(do logaritmo) -
(da raiz quadrada) -
onde é inteiro (da tangente)
A condição mais restritiva aqui é
, porque
já está incluído. Então, combinando isso com a restrição da tangente, o domínio final é:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais
tais que: