Determine: lim x 1 / 4 4 x-116 x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema envolve o conceito de limites em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos verificar se conseguimos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 4(14) - 116(14)^2 - 1 = 1 - 116 times 116 - 1 = 01 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
O resultado é , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador 16x^2 - 1 = (4x)^2 - 1^2 = (4x - 1)(4x + 1) . Observe que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
4x - 1(4x - 1)(4x + 1)
Agora, reescrevemos a expressão original com a fatoração:

Passo 4

Perceba que o termo 4x - 1(4x - 1)(4x + 1) = 14x + 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo, desde que (o que é válido porque estamos analisando o limite e não o valor exato em ):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo lim x 14 14x + 1 = 14 times 14 + 1 = 11 + 1 = 12 :

Resposta

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