Determine: lim x 0 sen^2(2 x^2)3 x^4

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para isso, precisamos lembrar que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Sabemos que quando sen^2(2x^2) approx (2x^2)^2 = 4x^4 está próximo de 0. Então, podemos aproximar o numerador da fração:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Aqui, os termos sen^2(2 x^2)3 x^4 approx 4x^43x^4 no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 4

Simplificando a fração, ficamos com:
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Como a aproximação foi válida para próximo de 0, o limite da expressão original também será .

Resposta

O limite é .

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y(pi / 2)=0, y^prime(pi / 2)=2
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