Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por
, ficando:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
, então fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usamos
:
Agora, usamos
. Primeiro, encontramos
:
Mas como
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Podemos simplificar escrevendo
:
Passo 7
Agora, vamos determinar os limites quando
tende a
e a
.
Primeiro,
:
Como
,
e
oscila entre -1 e 1. Então, o produto tende a 0:
Agora,
:
Aqui,
cresce exponencialmente para
, enquanto
continua oscilando. O termo exponencial domina, então o limite não existe (ou tende ao infinito de forma oscilante). Porém, como o coeficiente é negativo, podemos dizer que a função cresce para
de forma oscilante.
Resposta
A solução do problema é:
E os limites são:
Exercícios relacionados
Determine:
Determine:
Encontre os limites das sequências abaixo
(e)
(e)
Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(b)
(b)