Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados abaixo. Em cada caso faça um esboço da solução encontrada (opcional) e determine os limites lim t -infty y(t) e lim t infty y(t).
(e) y^prime prime-2 y^prime+5 y=0
y(pi / 2)=0, y^prime(pi / 2)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
y'' - 2y' + 5y = 0
E as condições são:
y(pi2) = 0, y'(pi2) = 2
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1, ficando:
r^2 - 2r + 5 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2r + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i
Então, as raízes são complexas: r = 1 + 2i e r = 1 - 2i.

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Onde alpha = 1 e beta = 2, então fica:
y(t) = e^t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.
Primeiro, usamos y(pi2) = 0:
0 = e^pi2 ( C1 cos(2 cdot pi2) + C2 sin(2 cdot pi2) ) 0 = e^pi2 ( C1 cos(pi) + C2 sin(pi) ) 0 = e^pi2 ( -C1 + 0 ) - C1 = 0 C1 = 0
Agora, usamos y'(pi2) = 2. Primeiro, encontramos y'(t):
y'(t) = e^t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) ) + e^t ( -2 C1 sin(2t) + 2 C2 cos(2t) ) y'(t) = e^t ( (C1 - 2 C1) sin(2t) + (C2 + 2 C2) cos(2t) ) y'(t) = e^t ( -C1 sin(2t) + 3 C2 cos(2t) )
Mas como C1 = 0, temos:
y'(pi2) = e^pi2 ( 0 + 3 C2 cos(pi) ) = e^pi2 ( 3 C2 cdot (-1) ) = -3 C2 e^pi2 = 2
Resolvendo para C2:
-3 C2 e^pi2 = 2 C2 = -23 e^pi2

Passo 6

Agora que temos C1 = 0 e C2 = -23 e^pi2, substituímos de volta na solução geral:
y(t) = e^t ( 0 cdot cos(2t) + ( -23 e^pi2 ) sin(2t) ) y(t) = -23 e^pi2 e^t sin(2t)
Podemos simplificar escrevendo e^t/e^pi2 = e^t - pi2:
y(t) = -23 e^t - pi2 sin(2t)

Passo 7

Agora, vamos determinar os limites quando t tende a -infty e a +infty.
Primeiro, limt to -infty y(t):
limt to -infty -23 e^t - pi2 sin(2t)
Como t to -infty, e^t - pi2 to 0 e sin(2t) oscila entre -1 e 1. Então, o produto tende a 0:
limt to -infty y(t) = 0
Agora, limt to infty y(t):
limt to infty -23 e^t - pi2 sin(2t)
Aqui, e^t - pi2 cresce exponencialmente para +infty, enquanto sin(2t) continua oscilando. O termo exponencial domina, então o limite não existe (ou tende ao infinito de forma oscilante). Porém, como o coeficiente é negativo, podemos dizer que a função cresce para -infty de forma oscilante.

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = -23 e^t - pi2 sin(2t)
E os limites são:
limt to -infty y(t) = 0, limt to infty y(t) não existe (tende a -infty de forma oscilante) ã

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