Determine:
Passo 1
Vamos analisar o exercício: calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Nesse problema, trabalharemos com limites, um conceito fundamental no cálculo que estuda o comportamento de funções à medida que as variáveis se aproximam de determinados valores. Para resolver, precisaremos entender como simplificar expressões algébricas e identificar possíveis indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na função para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que indica que a substituição direta não funciona e precisamos analisar o limite de outra maneira.
Passo 3
Quando a substituição direta resulta em uma fração com denominador zero, devemos investigar se o limite tende a
ou
. Para isso, analisamos o sinal do numerador e do denominador conforme
se aproxima de
.
O numerador
avaliado próximo de
resulta em:
Então, o numerador tende a
.
Passo 4
Agora, analisamos o denominador
. Podemos fatorar:
Conforme
se aproxima de
,
tende a zero. Dependendo de como
se aproxima de
, o denominador pode tender a
(positivo) ou
(negativo).
Passo 5
Considerando os dois casos:
-
Quando
se aproxima de pela direita ( ): é um número positivo muito pequeno, então o denominador tende a . Como o numerador tende a , a fração tende a . -
Quando
se aproxima de pela esquerda ( ): é um número negativo muito pequeno, então o denominador tende a . Nesse caso, a fração tende a .
Resposta
O limite não existe, pois tende a
quando
se aproxima de
pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.