Vamos analisar o exercício: calcular o limite quando se aproxima de da função . Nesse problema, trabalharemos com limites, um conceito fundamental no cálculo que estuda o comportamento de funções à medida que as variáveis se aproximam de determinados valores. Para resolver, precisaremos entender como simplificar expressões algébricas e identificar possíveis indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que indica que a substituição direta não funciona e precisamos analisar o limite de outra maneira.
Passo 3
Quando a substituição direta resulta em uma fração com denominador zero, devemos investigar se o limite tende a ou . Para isso, analisamos o sinal do numerador e do denominador conforme se aproxima de .
O numerador avaliado próximo de resulta em:
Então, o numerador tende a .
Passo 4
Agora, analisamos o denominador . Podemos fatorar:
Conforme se aproxima de , tende a zero. Dependendo de como se aproxima de , o denominador pode tender a (positivo) ou (negativo).
Passo 5
Considerando os dois casos:
Quando se aproxima de pela direita (): é um número positivo muito pequeno, então o denominador tende a . Como o numerador tende a , a fração tende a .
Quando se aproxima de pela esquerda (): é um número negativo muito pequeno, então o denominador tende a . Nesse caso, a fração tende a .
Resposta
O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.