Determine: lim x -1 x^2+2 x-12 x+2

Passo 1

Vamos analisar o exercício: calcular o limite quando se aproxima de da função . Nesse problema, trabalharemos com limites, um conceito fundamental no cálculo que estuda o comportamento de funções à medida que as variáveis se aproximam de determinados valores. Para resolver, precisaremos entender como simplificar expressões algébricas e identificar possíveis indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente (-1)^2 + 2(-1) -12(-1) + 2 = 1 - 2 -1-2 + 2 = -20 na função para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que indica que a substituição direta não funciona e precisamos analisar o limite de outra maneira.

Passo 3

Quando a substituição direta resulta em uma fração com denominador zero, devemos investigar se o limite tende a (-1)^2 + 2(-1) -1 = 1 - 2 -1 = -2 ou . Para isso, analisamos o sinal do numerador e do denominador conforme se aproxima de .
O numerador avaliado próximo de resulta em:
Então, o numerador tende a .

Passo 4

Agora, analisamos o denominador 2x + 2 = 2(x +1) . Podemos fatorar:
Conforme se aproxima de , tende a zero. Dependendo de como se aproxima de , o denominador pode tender a (positivo) ou (negativo).

Passo 5

Considerando os dois casos:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ): é um número positivo muito pequeno, então o denominador tende a . Como o numerador tende a , a fração tende a .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ): é um número negativo muito pequeno, então o denominador tende a . Nesse caso, a fração tende a .

Resposta

O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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