Existe um número finito ou infinito de subsequências da sequência (-1)^(n+1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se existe um número finito ou infinito de subsequências da sequência (-1)^(n+1). Aqui, estamos lidando com sequências e subsequências, que são conceitos da matemática discreta e análise combinatória. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma subsequência e como contar quantas delas existem para a sequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência original. A sequência (-1)^(n+1) gera os termos: 1, -1, 1, -1, 1, -1, … e assim por diante. Ela é infinita e alterna entre 1 e -1.

Passo 3

Agora, o que é uma subsequência? Uma subsequência é obtida selecionando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem em que aparecem. Por exemplo, podemos pegar apenas os primeiros termos, ou pular alguns, mas sempre sem mudar a ordem.

Passo 4

Vamos pensar em quantas maneiras temos de escolher termos dessa sequência. Para cada termo da sequência original, temos duas opções: ou incluímos ele na nossa subsequência ou não. Isso é como fazer escolhas binárias para cada termo.

Passo 5

Como a sequência original é infinita, temos um número infinito de termos para escolher. Cada termo adicional dobra o número de possíveis subsequências, já que para cada sequência existente, podemos criar outra incluindo ou excluindo o próximo termo.

Passo 6

Matematicamente, o número de subsequências possíveis de uma sequência infinita é equivalente à cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais, o que é infinito e, na verdade, não contável (não pode ser listado em uma sequência infinita).

Resposta

Existe um número infinito de subsequências da sequência (-1)^(n+1).

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