Existe um número finito ou infinito de subsequências da sequência ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se existe um número finito ou infinito de subsequências da sequência . Aqui, estamos lidando com sequências e subsequências, que são conceitos da matemática discreta e análise combinatória. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma subsequência e como contar quantas delas existem para a sequência dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência original. A sequência gera os termos: 1, -1, 1, -1, 1, -1, … e assim por diante. Ela é infinita e alterna entre 1 e -1.
Passo 3
Agora, o que é uma subsequência? Uma subsequência é obtida selecionando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem em que aparecem. Por exemplo, podemos pegar apenas os primeiros termos, ou pular alguns, mas sempre sem mudar a ordem.
Passo 4
Vamos pensar em quantas maneiras temos de escolher termos dessa sequência. Para cada termo da sequência original, temos duas opções: ou incluímos ele na nossa subsequência ou não. Isso é como fazer escolhas binárias para cada termo.
Passo 5
Como a sequência original é infinita, temos um número infinito de termos para escolher. Cada termo adicional dobra o número de possíveis subsequências, já que para cada sequência existente, podemos criar outra incluindo ou excluindo o próximo termo.
Passo 6
Matematicamente, o número de subsequências possíveis de uma sequência infinita é equivalente à cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais, o que é infinito e, na verdade, não contável (não pode ser listado em uma sequência infinita).
Resposta
Existe um número infinito de subsequências da sequência .