Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um polinômio definido no anel , ou seja, os coeficientes são considerados módulo 7. Nosso objetivo é encontrar todas as raízes desse polinômio em . Para isso, vamos precisar conhecer os elementos de e saber como substituir esses valores no polinômio para verificar quais resultam em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os elementos de . Esse conjunto é formado pelos restos da divisão por 7, ou seja:
Cada um desses elementos é uma possível raiz do polinômio .
Passo 3
Agora, vamos calcular para cada e verificar se o resultado é . Lembrando que todas as operações são feitas módulo 7.
Para facilitar, vamos substituir cada valor de no polinômio:
Vamos calcular passo a passo para cada :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Resposta
Após calcular para todos os elementos de , concluímos que não há raízes do polinômio em .