1^a Questão: Dado o anel A, determine as raízes em A dos seguintes polinômios p(x) in A[x].
© p(x) = x^6 + 2 x^5 - 3 x^3 + 4 x - 5 em Z_7[x].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um polinômio definido no anel , ou seja, os coeficientes são considerados módulo 7. Nosso objetivo é encontrar todas as raízes desse polinômio em . Para isso, vamos precisar conhecer os elementos de e saber como substituir esses valores no polinômio para verificar quais resultam em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os elementos de . Esse conjunto é formado pelos restos da divisão por 7, ou seja:
Cada um desses elementos é uma possível raiz do polinômio .

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada e verificar se o resultado é . Lembrando que todas as operações são feitas módulo 7.
Para facilitar, vamos substituir cada valor de no polinômio:
Vamos calcular passo a passo para cada :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :

Resposta

Após calcular para todos os elementos de , concluímos que não há raízes do polinômio em .

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