1^a Questão: Dado o anel A, determine as raízes em A dos seguintes polinômios p(x) in A[x].
© p(x) = x^6 + 2 x^5 - 3 x^3 + 4 x - 5 em Z_7[x].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um polinômio definido no anel , ou seja, os coeficientes são considerados módulo 7. Nosso objetivo é encontrar todas as raízes desse polinômio em . Para isso, vamos precisar conhecer os elementos de e saber como substituir esses valores no polinômio para verificar quais resultam em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os elementos de . Esse conjunto é formado pelos restos da divisão por 7, ou seja:
Cada um desses elementos é uma possível raiz do polinômio .

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada e verificar se o resultado é . Lembrando que todas as operações são feitas módulo 7.
Para facilitar, vamos substituir cada valor de no polinômio:
Vamos calcular passo a passo para cada :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :

Resposta

Após calcular para todos os elementos de , concluímos que não há raízes do polinômio em .

Exercícios relacionados

Determine: lim x -1 x^2+2 x-12 x+2

4^a Questão:ã

(a) Determine as raízes em Z_5 do polinômio p(x) = x^504 + 4 x^415 + 2 x^212 + 2 x^31 + 1 in Z_5[x].
Sugestão: Aplique o Teorema de Fermat ( Seja p um número primo, então a^(p-1) ≡ 1( mód p ∀ a ∈ Z, tal que p não divide a )
Existe um número finito ou infinito de subsequências da sequência (-1)^(n+1) ?
Determine: lim x 2^+ |x-2|2-x