Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -4|x^2-16x+4|. Aqui, a gente vai trabalhar com limites, álgebra pra simplificar a expressão e valor absoluto. Precisamos entender como simplificar essa fração e depois aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a expressão dentro do valor absoluto: x^2-16x+4. O numerador é x^2 - 16, que é uma diferença de quadrados. Diferença de quadrados sempre pode ser fatorada como (x - a)(x + a). Então:
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
Passo 3
Substituindo isso de volta na fração, temos:
(x - 4)(x + 4)x + 4
Agora, a gente pode simplificar a fração cancelando o (x + 4) que está no numerador e no denominador. Mas atenção: isso só é válido se x + 4 neq 0, ou seja, se x neq -4. Como estamos olhando o limite quando x se aproxima de -4, excluímos o ponto exato -4, então a simplificação é válida.
Passo 4
Após simplificar, a expressão fica:
x - 4
Agora, nossa expressão original com o valor absoluto fica:
| x - 4 |
Passo 5
Agora, vamos aplicar o limite:
lim x -4 | x - 4 |
Para calcular esse limite, basta substituir x por -4 na expressão dentro do valor absoluto:
| -4 - 4 | = | -8 |
Passo 6
Sabemos que o valor absoluto de um número é sempre positivo, então: