Encontre a área da região dentro de um laço da curva
(a)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a área de um dos laços da curva dada pela equação polar . Para isso, vamos usar o cálculo integral em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares é:
Onde e são os limites de integração que correspondem ao laço que queremos.

Passo 3

Para , sabemos que a curva tem múltiplos laços. Vamos determinar os limites de integração para um laço. A função completa um ciclo completo quando varia de 0 a , ou seja, varia de 0 a .

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica para simplificar a integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região dentro de um laço da curva é .

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Determine:
Seja e . Calcule e .