Encontre a área da região dentro de um laço da curva
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a área de um dos laços da curva dada pela equação polar
. Para isso, vamos usar o cálculo integral em coordenadas polares.
Passo 2
A fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares é:
Onde
e
são os limites de integração que correspondem ao laço que queremos.
Passo 3
Para
, sabemos que a curva tem múltiplos laços. Vamos determinar os limites de integração para um laço. A função
completa um ciclo completo quando
varia de 0 a
, ou seja,
varia de 0 a
.
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica
para simplificar a integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região dentro de um laço da curva é
.