Encontre a área da região dentro de um laço da curva
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a área de um dos laços da curva dada pela equação polar . Para isso, vamos usar o cálculo integral em coordenadas polares.
Passo 2
A fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares é:
Onde e são os limites de integração que correspondem ao laço que queremos.
Passo 3
Para , sabemos que a curva tem múltiplos laços. Vamos determinar os limites de integração para um laço. A função completa um ciclo completo quando varia de 0 a , ou seja, varia de 0 a .
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar a integral: