Encontre o número tal que a reta divida a região delimitada pelas curvas e em duas regiōes com área igual.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas: e . A reta deve dividir a área entre essas curvas em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos :
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área total delimitada pelas curvas e entre e . A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença delas:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Então, a área total é .

Passo 5

Queremos que a reta divida essa área em duas partes iguais, ou seja, cada parte deve ter área .
Para encontrar , vamos calcular a área abaixo de e igualá-la a . A curva inferior até é , e a curva superior é .

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar os limites de onde intercepta :
Então, a área abaixo de é:

Passo 7

Vamos calcular essa integral e igualar a :
Então, temos:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Sabendo que , temos:

Resposta

O valor de que divide a região em duas áreas iguais é ou aproximadamente .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
Simplifique:
Encontre a área da região dentro de um laço da curva
(a)
Determine: