Determine lim x 6 4^x-4^64 x-24.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando se aproxima de 6 da expressão . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4^6 - 4^64 times 6 - 24 = 00 na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrar o limite. Uma dessas técnicas é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a .

Passo 4

Vamos derivar o numerador :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de (que é uma constante) é 0.
Então, a derivada do numerador é .
Agora, vamos derivar o denominador :
  • A derivada de em relação a é 4.
  • A derivada de (constante) é 0.
Então, a derivada do denominador é 4.

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx to 6 4^x - 4^64x - 24 = limx to 6 4^x ln 44
Agora, substituímos 4^6 ln 44 = 4096 ln 44 = 1024 ln 4 :

Resposta

O limite é .

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