Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando
se aproxima de 6 da expressão
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrar o limite. Uma dessas técnicas é a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
(que é uma constante) é 0.
Então, a derivada do numerador é
.
Agora, vamos derivar o denominador
:
- A derivada de
em relação a é 4. - A derivada de
(constante) é 0.
Então, a derivada do denominador é 4.
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.