A.
Determine o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo do plano
.
usando coordenadas cilíndricas.
usando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está acima de um cone dado por
e abaixo do plano
. A gente vai resolver isso usando coordenadas cilíndricas, que são ótimas pra trabalhar com figuras circulares como cones e cilindros. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integração em coordenadas cilíndricas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E
. Então, a equação do cone fica:
E o plano continua
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que estamos calculando o volume. O sólido está entre o cone
e o plano
. Isso significa que para cada ponto,
varia de
até 2.
Passo 4
Para calcular o volume, usamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o
extra é porque na coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine
.
- 2 - 2,0 ) Determine a massa:
de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólicoe pelos planos e .
Encontre a solução dos seguintes sistemas de equações:
A.
Determine o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo do plano
.
usando coordenadas esféricas.
usando coordenadas esféricas.