A. 4,0 Determine o volume do sólido que está acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo do plano z = 2.
usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está acima de um cone dado por e abaixo do plano . A gente vai resolver isso usando coordenadas cilíndricas, que são ótimas pra trabalhar com figuras circulares como cones e cilindros. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integração em coordenadas cilíndricas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E . Então, a equação do cone fica:
E o plano continua .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que estamos calculando o volume. O sólido está entre o cone e o plano . Isso significa que para cada ponto, varia de até 2.

Passo 4

Para calcular o volume, usamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o extra é porque na coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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