Seja f(x)=x^4. Determine g(2) onde g(2)=lim x 2 f(x)-f(2)x-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função g(2) = lim x 2 f(x) - f(2)x - 2 e pede para encontrar , onde:
Esse tipo de limite está relacionado com o conceito de derivada na matemática, que basicamente nos diz a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir g(2) = lim x 2 x^4 - f(2)x - 2 na expressão do limite:
g(2) = lim x 2 x^4 - 16x - 2
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, se tentarmos substituir 2^4 - 162 - 2 = 16 - 160 = 00 diretamente na expressão, teremos:
Essa forma é indeterminada, ou seja, não conseguimos saber o valor do limite dessa forma. Então, precisamos simplificar a expressão para resolver essa indeterminação.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2) . Lembre-se que x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) pode ser fatorado como:
g(2) = lim x 2 (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)x - 2
Aplicando isso no nosso caso, onde e :
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo g(2) = lim x 2 (x + 2)(x^2 + 4) no numerador e no denominador:
g(2) = (2 + 2)(2^2 + 4) = 4 times (4 + 4) = 4 times 8 = 32
Com essa simplificação, podemos substituir diretamente:

Resposta

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